Bonjour Thibaud59990
Dans un repère orthonormé P est la parabole d'équation y=x², A le point de coordonnées (3,0) et M un point quelconque de P de coordonnées (x;x²).
But de l'exercice : déterminer la position du point M de P telle que la distance d(A,M) soit minimale.
1) Réaliser la figure avec Geogebra afin d'émettre une conjecture.
Nous pouvons conjecturer que la distance d(A,M) est minimale pour le point M(1;1).
2) Etablir que d(A,M) est minimale si et seulement si d(A,M)² est minimale.
Puisque les valeurs d(A,M) sont positives, cette suite de nombres et la suite de leurs carrés ont les mêmes variations.
3) Soit la fonction f(x)→d(A,M)²
Démontrer que f(x) = x^4 + x² - 6x + 9
[tex]f(x)=AM^2\\\\f(x)=(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2\\\\f(x)=(x_M - 3)^2 + (x_M^2 -0)^2\\\\f(x)=x_M^2 -6x_M+9 + x_M^4\\\\f(x)=x_M^4+x_M^2 -6x_M+9\\\\\boxed{f(x)=x^4+x^2 -6x+9}[/tex]
4) Calculer la dérivée de la fonction f.
Démontrer que f'(x)=(x - 1)(4x² + 4x + 6).
[tex]f'(x)=(x^4+x^2 -6x+9)'\\\\\boxed{f'(x)=4x^3+2x -6}[/tex]
Montrons que [tex](x - 1)(4x^2 + 4x + 6)=4x^3+2x -6[/tex]
En effet,
[tex](x - 1)(4x^2 + 4x + 6)=4x^3+4x^2+6x-4x^2-4x-6\\\\\boxed{(x - 1)(4x^2 + 4x + 6)=4x^3+2x-6}[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{f'(x)= (x-1)(4x^2+4x+6)}[/tex]
5) En déduire les variations de la fonction f sur R.
Le discriminant du trinôme 4x² + 4x + 6 est strictement négatif (car Δ = 4²-4*4*6=16-96=-80 < 0)
Donc ce trinome est strictement positif pour tous les réels x.
D'où, le signe de la dérivée est le même que le signe de (x-1)
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty \\ x-1&&-&0&+&\\f'(x)&&-&0&+&\\f(x)&&\searrow&5&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
f est décroissante sur l'intervalle [0 ; 1] et est croissante sur l'intervalle [1 ; +oo[
6) Pour quelle valeur de x, le carré de la distance d(A,M) est-il minimal ? Répondre au problème posé.
Selon les variations de la fonction f, nous déduisons que f admet un minimum pour x = 1.
Par conséquent, la distance d(A,M) sera minimale si x = 1, ce qui correspond bien au point M(1 ; 1) de la courbe (P).
