bonjour,
théorème :
F est dérivable sur son domaine de
définition, en tant que quotient de 2 fonctions polynômes
dérivables
I =]-4;+∞[
la fonction n'est pas défini en -4
donc elle n'est pas dérivable en -4
dérivable sur ]-4;+∞[
On pose
u =x³-2
u'=3x²
v=x+4
v' = 1
on applique la formule (u'v-uv') /v²
(3x²)× (x+4) - (x³-2 × 1) / (x+4)²
(3x³+12x²-x³+2) / (x+4)²
f'x) =(2x³ +12x²+2)/ (x+4)²
2)
on calcule la dérivée de g(x)
g'(x) = 6x² +24x
on étudie le signe de g'(x)
6x²+24x = 0
x( 6x+24)=0
x=0
ou
6x+24 =0 => x = -24/6 =>
x = -4
-4 ne fait pas partie de l'intervalle de définition
(on s'en sert juste pour le signe de g'x)
théorème du signe du polynôme :
entre les racines → signe de - a →
donc négatif
à l'extérieur des racines → signe
de a → donc positif
variations de g(x)
voir tableau en fichier joint
on voit d'après les variations de g, que la courbe ne descend jamais au dessous de 2 sur l'intervalle ]-4;+∞[
2 => minimum de la fonction
donc on peut en déduire que g(x) > 0 pour tout x de I
3)
comme g(x) = f '(x)
on peut en déduire que f '(x) >0 sur I
et par conséquent f(x) est strictement croissante sur I
