Sagot :
Bonjour Thibaud59990
1. Soit f la fonction définie sur R par f(x)=-x²+5x.
Démontrer qu'il existe deux tangentes passant par le point A (1;5), et donner les équations de ces tangentes.
Si f est dérivable en a, une équation de la tangente à la courbe représentative de f en son point d’abscisse a est donnée par : [tex]\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}[/tex]
f(x) = -x² + 5x ==> f(a) = -a² + 5a
f '(x) = -2x + 5 ==> f '(a) = -2a + 5
Donc, une équation de la tangente à la courbe représentative de f en son point d’abscisse a est :
y = (-2a + 5)(x - a) - a² + 5a
y = (-2a + 5)x + 2a² - 5a - a² + 5a
y = (-2a + 5)x + a²
Si le point A(1 ; 5) appartient à cette tangente, alors nous pouvons remplacer x par 1 et y par 5 dans l'équation de la tangente.
5 = (-2a + 5 ) * 1 + a²
5 = -2a + 5 + a²
a² - 2a = 0
a(a - 2) = 0
a = 0 ou a = 2.
Puisqu'il y a deux valeurs pour a, il existe donc deux tangentes à la courbe passant par A.
Si a = 0, alors l'équation de la tangente est : y = 5x.
Si a = 2, alors l'équation de la tangente est : y = x + 4.
Ces deux tangentes passent bien par le point A(1 ; 5) car si nous remplaçons x par 1 et y par 5, les deux équations sont vérifiées.
2. Démontrer qu'il n'existe aucune tangente à la courbe d’équation y=x/(1-x) passant par le point de coordonnées (-2;1).
Si g est dérivable en a, une équation de la tangente à la courbe représentative de g en son point d’abscisse a est donnée par : [tex]\boxed{y = g'(a)(x - a) + g(a)}[/tex]
[tex]g(x)=\dfrac{1}{1-x}\Longrightarrow \boxed{g(a)=\dfrac{1}{1-a}}[/tex]
[tex]g(x)=\dfrac{1}{1-x}\\\\g'(x)=\dfrac{-(1-x)'}{(1-x)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{-(-1)}{(1-x)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}\Longrightarrow \boxed{g'(a)=\dfrac{1}{(1-a)^2}}[/tex]
Une équation de la tangente à la courbe au point d' abscisse a est :
[tex]y=\dfrac{1}{(1-a)^2}(x-a)+\dfrac{a}{1-a}[/tex]
[tex]y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x-\dfrac{a}{(1-a)^2}+\dfrac{a}{1-a}\\\\y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x-\dfrac{a}{(1-a)^2}+\dfrac{a(1-a)}{(1-a)^2}\\\\y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x+\dfrac{-a+a-a^2}{(1-a)^2}\\\\\boxed{y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x-\dfrac{a^2}{(1-a)^2}}[/tex]
Si le point B(-2 ; 1) appartient à cette tangente, alors nous pouvons remplacer x par -2 et y par 1 dans l'équation de la tangente.
[tex]1=\dfrac{-2}{(1-a)^2}-\dfrac{a^2}{(1-a)^2}\\\\(1-a)^2=-2-a^2\\\\1-2a+a^2=-2-a^2\\\\2a^2-2a+3=0\\\\\Delta=(-2)^2-4\times2\times3=4-24=-20\ \textless \ 0\\\\pas\ de\ racine.[/tex]
Par conséquent, il n'existe aucune tangente à la courbe d'équation y=x/(1-x) passant par le point de coordonnées (-2;1).
3. Soit y la fonction définie sur ]0;+oo[ par : u(x)= x +2√x.
Existe-t-il une tangente à la courbe représentative de u passant par le point de coordonnées (0;2) ?
Si u est dérivable en a, une équation de la tangente à la courbe représentative de u en son point d’abscisse a est donnée par : [tex]\boxed{y = u'(a)(x - a) + u(a)}[/tex]
[tex]u(x)=x+2\sqrt{x}\Longrightarrow \boxed{u(a)=a+2\sqrt{a}}[/tex]
[tex]u'(x)=1+2\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\\\u'(x)=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\\\u'(x)=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\Longrightarrow \boxed{u'(a)=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}}[/tex]
Une équation de la tangente à la courbe au point d' abscisse a est :
[tex]y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}(x-a)+a+2\sqrt{a}\\\\y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}x-\dfrac{a(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}}+a+2\sqrt{a}\\\\y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}x-\dfrac{a(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}}+\dfrac{(a+2\sqrt{a})\sqrt{a}}{\sqrt{a}}\\\\y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}x+\dfrac{-a\sqrt{a}-a+a\sqrt{a}+2a}{\sqrt{a}}\\\\y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}x+\dfrac{a}{\sqrt{a}}\\\\\boxed{y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}x+\sqrt{a}}[/tex]
Si le point (0 ; 2) appartient à cette tangente, alors nous pouvons remplacer x par 0 et y par 2 dans l'équation de la tangente.
[tex]2=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\times0+\sqrt{a}\\\\2=\sqrt{a}\\\\a=4[/tex]
L'équation de la tangente est : [tex]\boxed{y=\dfrac{3}{2}x+2}[/tex]
Remarque : Il existe une seconde tangente à la courbe passant par le point (; 2).
Son équation est : x = 0
1. Soit f la fonction définie sur R par f(x)=-x²+5x.
Démontrer qu'il existe deux tangentes passant par le point A (1;5), et donner les équations de ces tangentes.
Si f est dérivable en a, une équation de la tangente à la courbe représentative de f en son point d’abscisse a est donnée par : [tex]\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}[/tex]
f(x) = -x² + 5x ==> f(a) = -a² + 5a
f '(x) = -2x + 5 ==> f '(a) = -2a + 5
Donc, une équation de la tangente à la courbe représentative de f en son point d’abscisse a est :
y = (-2a + 5)(x - a) - a² + 5a
y = (-2a + 5)x + 2a² - 5a - a² + 5a
y = (-2a + 5)x + a²
Si le point A(1 ; 5) appartient à cette tangente, alors nous pouvons remplacer x par 1 et y par 5 dans l'équation de la tangente.
5 = (-2a + 5 ) * 1 + a²
5 = -2a + 5 + a²
a² - 2a = 0
a(a - 2) = 0
a = 0 ou a = 2.
Puisqu'il y a deux valeurs pour a, il existe donc deux tangentes à la courbe passant par A.
Si a = 0, alors l'équation de la tangente est : y = 5x.
Si a = 2, alors l'équation de la tangente est : y = x + 4.
Ces deux tangentes passent bien par le point A(1 ; 5) car si nous remplaçons x par 1 et y par 5, les deux équations sont vérifiées.
2. Démontrer qu'il n'existe aucune tangente à la courbe d’équation y=x/(1-x) passant par le point de coordonnées (-2;1).
Si g est dérivable en a, une équation de la tangente à la courbe représentative de g en son point d’abscisse a est donnée par : [tex]\boxed{y = g'(a)(x - a) + g(a)}[/tex]
[tex]g(x)=\dfrac{1}{1-x}\Longrightarrow \boxed{g(a)=\dfrac{1}{1-a}}[/tex]
[tex]g(x)=\dfrac{1}{1-x}\\\\g'(x)=\dfrac{-(1-x)'}{(1-x)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{-(-1)}{(1-x)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}\Longrightarrow \boxed{g'(a)=\dfrac{1}{(1-a)^2}}[/tex]
Une équation de la tangente à la courbe au point d' abscisse a est :
[tex]y=\dfrac{1}{(1-a)^2}(x-a)+\dfrac{a}{1-a}[/tex]
[tex]y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x-\dfrac{a}{(1-a)^2}+\dfrac{a}{1-a}\\\\y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x-\dfrac{a}{(1-a)^2}+\dfrac{a(1-a)}{(1-a)^2}\\\\y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x+\dfrac{-a+a-a^2}{(1-a)^2}\\\\\boxed{y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x-\dfrac{a^2}{(1-a)^2}}[/tex]
Si le point B(-2 ; 1) appartient à cette tangente, alors nous pouvons remplacer x par -2 et y par 1 dans l'équation de la tangente.
[tex]1=\dfrac{-2}{(1-a)^2}-\dfrac{a^2}{(1-a)^2}\\\\(1-a)^2=-2-a^2\\\\1-2a+a^2=-2-a^2\\\\2a^2-2a+3=0\\\\\Delta=(-2)^2-4\times2\times3=4-24=-20\ \textless \ 0\\\\pas\ de\ racine.[/tex]
Par conséquent, il n'existe aucune tangente à la courbe d'équation y=x/(1-x) passant par le point de coordonnées (-2;1).
3. Soit y la fonction définie sur ]0;+oo[ par : u(x)= x +2√x.
Existe-t-il une tangente à la courbe représentative de u passant par le point de coordonnées (0;2) ?
Si u est dérivable en a, une équation de la tangente à la courbe représentative de u en son point d’abscisse a est donnée par : [tex]\boxed{y = u'(a)(x - a) + u(a)}[/tex]
[tex]u(x)=x+2\sqrt{x}\Longrightarrow \boxed{u(a)=a+2\sqrt{a}}[/tex]
[tex]u'(x)=1+2\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\\\u'(x)=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\\\u'(x)=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\Longrightarrow \boxed{u'(a)=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}}[/tex]
Une équation de la tangente à la courbe au point d' abscisse a est :
[tex]y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}(x-a)+a+2\sqrt{a}\\\\y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}x-\dfrac{a(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}}+a+2\sqrt{a}\\\\y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}x-\dfrac{a(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}}+\dfrac{(a+2\sqrt{a})\sqrt{a}}{\sqrt{a}}\\\\y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}x+\dfrac{-a\sqrt{a}-a+a\sqrt{a}+2a}{\sqrt{a}}\\\\y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}x+\dfrac{a}{\sqrt{a}}\\\\\boxed{y=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}x+\sqrt{a}}[/tex]
Si le point (0 ; 2) appartient à cette tangente, alors nous pouvons remplacer x par 0 et y par 2 dans l'équation de la tangente.
[tex]2=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\times0+\sqrt{a}\\\\2=\sqrt{a}\\\\a=4[/tex]
L'équation de la tangente est : [tex]\boxed{y=\dfrac{3}{2}x+2}[/tex]
Remarque : Il existe une seconde tangente à la courbe passant par le point (; 2).
Son équation est : x = 0
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