Bonjour Coraliedu59
1) [tex]\lim\limits_{x\to0^+}(\ln x-kx^2+1)=-\infty-0+1=-\infty\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f_k(x)=-\infty}[/tex]
2) a) [tex]\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{1}{x}\times\dfrac{\ln x}{x})[/tex]
Or [tex]\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{1}{x})=0\ \ et\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{\ln x}{x})=0[/tex]
Donc : [tex]\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0}[/tex]
[tex]b)\ f_k(x)=\ln x-kx^2+1\\\\Si\ x\neq0,\ alors\ f_k(x)=x^2(\dfrac{\ln x}{x^2}-k+\dfrac{1}{x^2})[/tex]
Or [tex]\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty\ \ et\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{\ln x}{x^2}-k+\dfrac{1}{x^2})=0-k+0=-k\ \textless \ 0[/tex]
Donc [tex]\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f_k(x)=-\infty}[/tex]
[tex]3)\ f_k'(x)=(\ln x-kx^2+1)'=\dfrac{1}{x}-2kx=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2kx^2}{x}=\dfrac{1-2kx^2}{x}\\\\\boxed{f_k'(x)=\dfrac{1-2kx^2}{x}}[/tex]
4) Etudions le signe de la dérivée.
[tex]f_k'(x)=\dfrac{1-2kx^2}{x}\\\\f_k'(x)=\dfrac{(1-\sqrt{2k}.x)(1+\sqrt{2k}.x)}{x}[/tex]
Or [tex]1+\sqrt{2k}.x\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ x\ \textgreater \ 0[/tex]
Donc le signe de la dérivée est le même que le signe de [tex](1-\sqrt{2k}.x)[/tex]
Racine : [tex]1-\sqrt{2k}.x=0\Longrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2k}}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&\dfrac{1}{\sqrt{2k}}&&+\infty \\ 1-\sqrt{2k}.x&&+&0&-&\\ f_k'(x)&&+&0&-&\\f_k'(x)&&\nearrow&f(\dfrac{1}{\sqrt{2k}})&\searrow&\\ \end{array}\\\\.[/tex]
Ce tableau correspond bien au tableau présenté dans l'énoncé.
5) Etudions le signe du maximum de la fonction [tex]f_k[/tex].
[tex]\dfrac{1-\ln(2k)}{2}\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow\ln(2k)\ \textless \ 1\Longleftrightarrow2k\ \textless \ e\Longleftrightarrow k\ \textless \ \dfrac{e}{2}\\\\\dfrac{1-\ln(2k)}{2}=0\Longleftrightarrow k=\dfrac{e}{2}\\\\\dfrac{1-\ln(2k)}{2}\ \textless \ 0\Longleftrightarrow k\ \textgreater \ \dfrac{e}{2}[/tex]
Par conséquent,
Si [tex]k\ \textless \ \dfrac{e}{2}[/tex], alors l'équation [tex]f_k(x)=0[/tex] admet deux solutions distinctes.
Si [tex]k=\dfrac{e}{2}[/tex], alors l'équation [tex]f_k(x)=0[/tex] admet une solution double.
Si [tex]k\ \textgreater \ \dfrac{e}{2}[/tex], alors l'équation [tex]f_k(x)=0[/tex] n'admet pas de solution.
6) Le point A(1 ; 1/2) appartient à la courbe.
Donc
[tex]f_k(1)=\dfrac{1}{2}\\\\\ln(1)-k\times1^2+1=\dfrac{1}{2}\\\\0-k+1=\dfrac{1}{2}\\\\-k=\dfrac{1}{2}-1\\\\-k=-\dfrac{1}{2}\\\\\boxed{k=\dfrac{1}{2}}[/tex]
