Bonsoir,
Déterminer un entier naturel de trois chiffres tel que :
- la somme de ses chiffres soit 24 ;
- si l'on permute les deux derniers chiffres, le nombre diminue de 9 ;
- si l'on permute les deux premiers chiffres, le nombre diminue de 90.
En existe-t-il plusieurs ?
Soient x, y et z les 3 chiffres :
La somme des chiffres = 24 soit x + y + z = 24
soit : 100x + 10y + z
Si l'on permute les deux derniers chiffres, le nombre diminue de 9 : 100x + 10z + y = 100x + 10y + z - 9
Si l'on permute les deux premiers chiffres, le nombre diminue de 90, soit : 100y + 10x + z = 100x + 10y + z - 90
Ce qui nous donne un système à trois équations comme suit :
x + y + z = 24
100x + 10z + y = 100x + 10y + z - 9
100y + 10x + z = 100x + 10y + z - 90
z = 24 - x - y
100x + 10 (24 - x - y) + y = 100x + 10y + 24 - x - y - 9
240 - 10x - 10y + y = 9y - x + 15
- 9x - 18y + 225 = 0
100y + 10x + 24 - x - y = 100x + 10y + 24 - x - y - 90
100y + 10x = 100x + 10y - 90
90x - 90y - 90 = 0
x - y - 1 = 0
y = x - 1
D'où :
- 9x - 18y + 225 = 0
- 9x - 18 (x - 1) + 225 = 0
- 27x + 18 + 225 = 0
- 27x + 243 = 0
x = 243/27
x = 9
y = x - 1
y = 9 - 1
y = 8
et
z = 7
Le nombre recherché est donc : 987
978 + 9 = 987 et 897 + 90 = 987
