Bonjour Raphdu18
[tex]1)\ f'_n(x)=(-nx-x\ln x)'\\\\f'_n(x)=(-nx)'-(x\ln x)'\\\\f'_n(x)=-n-[x'\times\ln x+x\times(\ln x)']\\\\f'_n(x)=-n-[1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}]\\\\f'_n(x)=-n-(\ln x+1)\\\\\boxed{f'_n(x)=-n-1-\ln x}[/tex]
2a) La courbe admet
une tangente parallèle à l’axe des abscisses si sa dérivée s'annule au point dont l'abscisse est [tex]e^{-n-1}[/tex]
[tex]f'_n(x)=0\\n-1-\ln x=0\\\ln x=n-1\\\ln x=\ln e^{-n-1}\\\\\boxed{x=e^{-n-1}}[/tex]
Par conséquent,
la courbe Cn admet en un unique point An d'abscisse [tex]e^{-n-1}[/tex] une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
b) Montrons que [tex]f_n(e^{-n-1})=e^{-n-1}[/tex]
En effet,
[tex]f_n(e^{-n-1})=-ne^{-n-1}-e^{-n-1}\ln e^{-n-1}\\\\f_n(e^{-n-1})=-ne^{-n-1}-e^{-n-1}\times(-n-1)\\\\f_n(e^{-n-1})=-ne^{-n-1}+(n+1)e^{-n-1}\\\\f_n(e^{-n-1})=[-n+(n+1)]e^{-n-1}\\\\f_n(e^{-n-1})=(-n+n+1)e^{-n-1}\\\\\boxed{f_n(e^{-n-1})=e^{-n-1}}[/tex]
Puisque pour tout point An, l'abscisse de ce point est égale à l'ordonnée de ce point, on en déduit que tout point An appartient à la droite Δ d'équation y=x.
3a) La courbe Cn coupe l'axe des abscisse si [tex]f_n(x)=0[/tex]
[tex]-nx-x\ln x=0\\\\-x(n+\ln x)=0[/tex]
Or n est différent de 0
Donc
[tex]n+\ln x=0\\\ln x=-n\\\ln x=\ln e^{-n}\\\\\boxed{x=e^{-n}}[/tex]
Par conséquent,
La courbe Cn coupe l'axe des abscisse en un point Bn dont l'abscisse est [tex]e^{-n}[/tex]
b) Le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point Bn est égal à [tex]f'_n(e^{-n})[/tex]
[tex]f'_n(e^{-n})=-n-1-\ln e^{-n}\\\\f'_n(e^{-n})=-n-1-(-n)\\\\f'_n(e^{-n})=n-1+n\\\\\boxed{f'_n(e^{-n})=-1}[/tex]
Ce coefficient directeur est donc indépendant de n (puisque n ne figure pas dans la valeur de [tex]f'_n(e^{-n})[/tex])
