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Bonjour, c'est urgent, j'aurais besoin d'aide s'il vous plait

Soit A et B deux points distincts du plan. Le point C est défini par la relation vectorielle : 4vecteurCA - 2vecteurCB = vecteurAB.

1) Exprimer le vecteur AC en fonction du vecteur AB.

2) Faure une figure (que l'on completera au fur et a mesure).

3) Démontrer que A,B et C sont alignés.

Soit D un point du plan n'appartenant pas à la droite (AB)
On se place dans le repère (A,vecteurAB,vecteur AD).

4) Quelles sont les coordonnées des points A,B,C et D ?

5) Déterminer les coordonnées de E milieu de [DA].

6) Déterminer une équation de la droite (EC).

7) Déterminer les coordonnées de F, le point d'intersection de (EC) et (BD).

Merci d'avance a tous :)

Sagot :

1) 4CA - 2CB = AB 
A partir de la relation de Chasles:
4CA- 2(CA +AB) = AB
4CA - 2CA -2AB = AB
2CA= AB + 2AB
2CA = 3AB
CA= 3/2 AB
CA = 1,5 AB
AC= -1,5AB

3) Les points A,B et C sont alignes si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colineaires. Or AC = -1,5AB donc les vecteurs AB et AC sont colineaires et les points A,B et C sont alignes.

4) Les coordonnees des points A,B,C et D sont :
A(0;0)  B( 1;0) C( -1,5 ;0)  D(0;1 )

5) xE =(xD+xA) = (0+0)/2 = 0
  yE = (yD+yA) = (0+1)/2= 0,5
E(0;0,5)

6)Nous calculons le coefficient directeur de la droite (EC)
(xC-xE)/(yC-yE) = -1,5/ (-0,5) = 3
y=3x + t
De plus la droite passe par le point E (0;0,5) donc l'equation doit verifier ses coordonnees: 
0=3x0,5 + t
0= 1,5 + t 
t= -1,5 
Une equation de la droite (EC) est y=3x-1,5

7) Nous calculons le coefficient de la droite (BD)
(xD-xB)/(yD-yB)=-1/1 = -1
y=-x + t
De plus la droite passe par le point B(1;0) donc les coordonnees doivent verifier l'equation
0=-1+t
t=1
Une equation de la droite (BD) est y=-x+1
Lorsque les deux droites se coupent , il faut resoudre ce systeme pour trouver les coordonnees du point d'intersection
y=3x-1,5
y=-x+1

3x-1,5=-x+1
3x+x = 1+1,5
4x = 2,5 
x = 2,5/4 = 8,25

On remplace x par 8,25 dans l'une des deux equations
y=-x+1
y=-8,25+1= -7,25

Donc F(8,25; -7,25) 


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