OK je crois que j'ai compris mais il faudra vérifier avec géogebra.
En fait il faut revenir à la définition de la dérivée (l'idée vient du mot "tronçons tangents").
On cherche l'équation de la courbe de f(x) entre O et A.
On a f(0) = 0 et f(3) = 1.
On prolonge les tronçons, les droites se coupent en C. Alors la droite OC est la tangente à f(x) au point O et la droite AC celle de f au point A pour indiquer qu'il n'y a pas de "point anguleux".
Les dérivées de f en A et O sont les coefficients directeurs des droites OC et CA.
Pour OC c'est 0.
Pour CA comme c'est le prolongement du 2è tronçon c'est 1/2.
donc f ' (0) = 0 et f ' (3) = 1/2.
Une seule courbure, j'ai cherché, apparemment ça n'existe pas donc ce n'est pas une fonction avec une seule courbure qu'on cherche, mais avec deux courbures. Une courbure entre x=0 et x=3 (entre O et A), et l'autre courbure on s'en fout puisque le train aura rejoint son tronçon droit avant.
donc il faut chercher f(x) telle que f(x) = ax³+bx²+cx+d = 0
f(0) = 0 ⇒ d =0 c'est déjà ça
f(3) = 27a + 9b +3c = 1
f '(x) = 3ax² + 2bx+c donc f '(0) = c = 0⇒c=0 ça c'est swag
f (3) = 27a +9b =1
f ' (3) = 27a + 6b = 1/2
2 équations à deux inconnues. Je soustrais : 3b = 1/2 donc b = 1/6
Je remplace : 27a + 9/6 = 1 donc 27a +3/2 = 1 donc 27a = 1-3/2 = -1/2
donc a = -1/54
et donc f(x) = (-1/54) x³ + (1/6) x² et c'est tout.
