Sagot :
Bonjour Nicolaspi89
Exercice 1
[tex]u_n= \int\limits^n_1 e^{-t^2} \, dt\ \ \ \ (n\in\mathbb{N}^*)[/tex]
1) [tex]u_n[/tex] représente l'aire de la portion du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction f définie par [tex]f(t)=e^{-t^2}[/tex], l'axe des abscisses et les droites d'équations t = 1 et t = n.
2) [tex]u_{n+1}-u_n= \int\limits^{n+1}_1 e^{-t^2} \, dt-\int\limits^n_1 e^{-t^2} \, dt\\\\u_{n+1}-u_n= \int\limits^{n+1}_1 e^{-t^2} \, dt+\int\limits^1_n e^{-t^2} \, dt\\\\u_{n+1}-u_n=\int\limits^1_n e^{-t^2} \, dt+ \int\limits^{n+1}_1 e^{-t^2} \, dt\\\\u_{n+1}-u_n= \int\limits^{n+1}_n e^{-t^2} \, dt\ \textgreater \ 0\\\\u_{n+1}-u_n\ \textgreater \ 0\\\\\boxed{u_{n+1}\ \textgreater \ u_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (un) est croissante.
[tex]3)\ t\ge1\Longrightarrow t^2\ge t\ \textgreater \ 0\Longrightarrow e^{t^2}\ge e^t\ \textgreater \ 0\Longrightarrow \dfrac{1}{e^{t^2}}\le \dfrac{1}{e^t}\Longrightarrow e^{-t^2}\le e^{- t}}[/tex]
Puisque l'exponentielle est positive, nous en déduisons que [tex]\boxed{0\le e^{-t^2}\le e^{- t}}}[/tex]
D'où
[tex] \int\limits^n_1 {0} \, dt \le \int\limits^n_1 e^{-t^2}\, dt\le \int\limits^n_1 e^{- t}\, dt\\\\ 0 \le u_n\le \int\limits^n_1 e^{- t}\, dt\\\\\text{Or}\ \int\limits^n_1 e^{- t}\, dt=-[e^{-t}]\limis_1^n=-(e^{-n}-e^{-1})=e^{-1}-e^{-n}=\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e^n}\\\\Donc\ 0 \le u_n\le \dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e^n}\\\\\boxed{0 \le u_n\le \dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e^n}\le\dfrac{1}{e}}\ car\ \dfrac{1}{e^n}\ge0[/tex]
4) La suite (un) est croissante et bornée par 0 et 1/e.
Par conséquent, la suite (un) est convergente.
Exercice 2
1) a) [tex]\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BA}=||\overrightarrow{BD}||\times||\overrightarrow{BA}||\times\cos(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})[/tex]
[tex]\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BA}=a\times a\times\cos(\dfrac{\pi}{3})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BA}=a\times a\times\dfrac{1}{2}\\\\\boxed{\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BA}=\dfrac{a^2}{2}}[/tex]
[tex]b)\ (\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC})\\\\(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})[2\pi]\\\\(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\\\\(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})=\dfrac{2\pi}{6}-\dfrac{3\pi}{6}[2\pi]\\\\\boxed{(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})=-\dfrac{\pi}{6}[2\pi]}[/tex]
D'où
[tex]\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{BD}||\times||\overrightarrow{AC}||\times\cos(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=a\times a\times\cos(-\dfrac{\pi}{6})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=a^2\times\cos(\dfrac{\pi}{6})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=a^2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\boxed{\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}}[/tex]
[tex]c)\ \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}.(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=a^2\times(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2})\\\\\boxed{\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=a^2\times(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2})}[/tex]
2) Le triangle CAB est rectangle et isocèle en A
D'où [tex]\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{\pi}{4}[/tex]
De plus par Pythagore dans ce triangle rectangle,
[tex]BC^2=AB^2+AC^2=a^2+a^2=2a^2\\BC=\sqrt{2a^2}\\BC=a\sqrt{2}[/tex]
[tex]\widehat{CBD}=\widehat{ABD}-\widehat{ABC}\\\\\widehat{CBD}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\\\\\widehat{CBD}=\dfrac{4\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}\\\\\boxed{\widehat{CBD}=\dfrac{\pi}{12}}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=||\overrightarrow{BD}||\times||\overrightarrow{BC}||\times\cos(\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=a\times a\sqrt{2}\times\cos(\dfrac{\pi}{12})\\\\\boxed{\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}= a^2\sqrt{2}\times\cos(\dfrac{\pi}{12})}[/tex]
En identifiant ce résultat avec le résultat de la question 1c), nous en déduisons que :
[tex]a^2\sqrt{2}\times\cos(\dfrac{\pi}{12})=a^2\times(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2})\\\\\sqrt{2}\times\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\\\\\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\\\\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{(1+\sqrt{3})\sqrt{2}}{4}\\\\\boxed{\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}[/tex]
Exercice 1
[tex]u_n= \int\limits^n_1 e^{-t^2} \, dt\ \ \ \ (n\in\mathbb{N}^*)[/tex]
1) [tex]u_n[/tex] représente l'aire de la portion du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction f définie par [tex]f(t)=e^{-t^2}[/tex], l'axe des abscisses et les droites d'équations t = 1 et t = n.
2) [tex]u_{n+1}-u_n= \int\limits^{n+1}_1 e^{-t^2} \, dt-\int\limits^n_1 e^{-t^2} \, dt\\\\u_{n+1}-u_n= \int\limits^{n+1}_1 e^{-t^2} \, dt+\int\limits^1_n e^{-t^2} \, dt\\\\u_{n+1}-u_n=\int\limits^1_n e^{-t^2} \, dt+ \int\limits^{n+1}_1 e^{-t^2} \, dt\\\\u_{n+1}-u_n= \int\limits^{n+1}_n e^{-t^2} \, dt\ \textgreater \ 0\\\\u_{n+1}-u_n\ \textgreater \ 0\\\\\boxed{u_{n+1}\ \textgreater \ u_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (un) est croissante.
[tex]3)\ t\ge1\Longrightarrow t^2\ge t\ \textgreater \ 0\Longrightarrow e^{t^2}\ge e^t\ \textgreater \ 0\Longrightarrow \dfrac{1}{e^{t^2}}\le \dfrac{1}{e^t}\Longrightarrow e^{-t^2}\le e^{- t}}[/tex]
Puisque l'exponentielle est positive, nous en déduisons que [tex]\boxed{0\le e^{-t^2}\le e^{- t}}}[/tex]
D'où
[tex] \int\limits^n_1 {0} \, dt \le \int\limits^n_1 e^{-t^2}\, dt\le \int\limits^n_1 e^{- t}\, dt\\\\ 0 \le u_n\le \int\limits^n_1 e^{- t}\, dt\\\\\text{Or}\ \int\limits^n_1 e^{- t}\, dt=-[e^{-t}]\limis_1^n=-(e^{-n}-e^{-1})=e^{-1}-e^{-n}=\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e^n}\\\\Donc\ 0 \le u_n\le \dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e^n}\\\\\boxed{0 \le u_n\le \dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e^n}\le\dfrac{1}{e}}\ car\ \dfrac{1}{e^n}\ge0[/tex]
4) La suite (un) est croissante et bornée par 0 et 1/e.
Par conséquent, la suite (un) est convergente.
Exercice 2
1) a) [tex]\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BA}=||\overrightarrow{BD}||\times||\overrightarrow{BA}||\times\cos(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})[/tex]
[tex]\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BA}=a\times a\times\cos(\dfrac{\pi}{3})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BA}=a\times a\times\dfrac{1}{2}\\\\\boxed{\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BA}=\dfrac{a^2}{2}}[/tex]
[tex]b)\ (\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC})\\\\(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})[2\pi]\\\\(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\\\\(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})=\dfrac{2\pi}{6}-\dfrac{3\pi}{6}[2\pi]\\\\\boxed{(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})=-\dfrac{\pi}{6}[2\pi]}[/tex]
D'où
[tex]\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{BD}||\times||\overrightarrow{AC}||\times\cos(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=a\times a\times\cos(-\dfrac{\pi}{6})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=a^2\times\cos(\dfrac{\pi}{6})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=a^2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\boxed{\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}}[/tex]
[tex]c)\ \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}.(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=a^2\times(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2})\\\\\boxed{\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=a^2\times(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2})}[/tex]
2) Le triangle CAB est rectangle et isocèle en A
D'où [tex]\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{\pi}{4}[/tex]
De plus par Pythagore dans ce triangle rectangle,
[tex]BC^2=AB^2+AC^2=a^2+a^2=2a^2\\BC=\sqrt{2a^2}\\BC=a\sqrt{2}[/tex]
[tex]\widehat{CBD}=\widehat{ABD}-\widehat{ABC}\\\\\widehat{CBD}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\\\\\widehat{CBD}=\dfrac{4\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}\\\\\boxed{\widehat{CBD}=\dfrac{\pi}{12}}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=||\overrightarrow{BD}||\times||\overrightarrow{BC}||\times\cos(\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC})\\\\\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=a\times a\sqrt{2}\times\cos(\dfrac{\pi}{12})\\\\\boxed{\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}= a^2\sqrt{2}\times\cos(\dfrac{\pi}{12})}[/tex]
En identifiant ce résultat avec le résultat de la question 1c), nous en déduisons que :
[tex]a^2\sqrt{2}\times\cos(\dfrac{\pi}{12})=a^2\times(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2})\\\\\sqrt{2}\times\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\\\\\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\\\\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{(1+\sqrt{3})\sqrt{2}}{4}\\\\\boxed{\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}[/tex]
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