Bonjour BeautyLina,
Exercice 1
Soit z l'âge actuel d'Alexis.
a) dans 2 ans, son âge se notera z+2.
b) le double de son âge se note 2z.
c) le triple de l'âge qu'il avait il y a 4 ans est 3(z-4).
d) la moitié de l'âge qu'il aura dans 5 ans se note (1/2)(z+5).
e) son année de naissance se note 2016-z.
Exercice 2
a) Choisir un nombre entier ==> 3
Soustraire 3 ==> 3-3 = 0
Multiplier par le nombre entier qui suit le nombre choisi : 0 x 4 = 0
Ajouter le double du nombre choisi ==> 0 + 2 x 3 = 0 + 6 = 6
Ajouter 3 ==> 6 + 3 = 9
Le résultat final est 9
Choisir un nombre entier ==> -4
Soustraire 3 ==> -4-3 = -7
Multiplier par le nombre entier qui suit le nombre choisi : (-7) x (-3) = 21
Ajouter le double du nombre choisi ==> 21 + 2 x (-4) = 21 - 8 = 13
Ajouter 3 ==> 13 + 3 = 16
Le résultat final est 16
Nous remarquons que le résultat final est égal au carré du nombre choisi.
En effet : 9 = 3² et 16 = (-4)²
b) Démonstration de la conjecture.
Choisir un nombre entier ==> x
Soustraire 3 ==> x-3
Multiplier par le nombre entier qui suit le nombre choisi : (x-3)(x+1)
Ajouter le double du nombre choisi ==> (x-3)(x+1) + 2x
Ajouter 3 ==> (x-3)(x+1) + 2x + 3
Le résultat final est (x-3)(x+1) + 2x + 3
Or
(x-3)(x+1) + 2x + 3 = (x² + x - 3x - 3) + 2x + 3
= x² - 2x - 3 + 2x + 3
= x².
Donc le résultat final est x², soit le carré du nombre x choisi au départ.
Exercice 3
"Pour calculer le carré d'un nombre entier n, il suffit de
calculer le produit du nombre entier qui précède n par le nombre entier qui
suit n et d'ajouter 1 au résultat"
a) Si n = 5, alors le calcul revient à : (5 - 1) x (5 + 1) + 1,
soit 4 x 6 + 1
soit 24 + 1
soit 25.
Nous avons bien : 5² = 25
Si n = 5, alors le calcul revient à : (5 - 1) x (5 + 1) + 1,
soit 4 x 6 + 1
soit 24 + 1
soit 25.
Nous avons bien : 5² = 25
Si n = -2, alors le calcul revient à : (-2 - 1) x (-2 + 1) + 1,
soit (-3) x (-1) + 1
soit 3 + 1
soit 4.
Nous avons bien : (-2)² = 4.
b) Démonstration
(n -1)(n + 1) + 1 = n² - 1 + 1 = n²
c) 999 999² = (999 999 -1)(999 999 + 1) + 1
= 999 998 x 1 000 000 + 1
= 999 998 000 000 + 1
= 999 998 000 001
Par conséquent,
999 999² = 999 998 000 001
Exercice 4
AB = 5x + 10 ==> AB² = (5x + 10)²
= (5x)² + 2*5x*10 + 10²
= 25x² + 100x + 100
AC = 3x + 6 ==> AC² = (3x + 6)²
= (3x)² + 2*3x*6 + 6²
= 9x² + 36x + 36
BC = 4x + 8 ==> BC² = (4x + 8)²
= (4x)² + 2*4x*8 + 8²
= 16x² + 64x + 64
D'où
AC² + BC² = (9x² + 36x + 36) + (16x² + 64x + 64)
AC² + BC² = 9x² + 36x + 36 + 16x² + 64x + 64
AC² + BC² = 9x² + 16x² + 36x + 64x + 36 + 64
AC² + BC² = 25x² + 100x + 100
AC² + BC² = AB²
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et [AB] est l'hypoténuse.
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle et l'angle droit est en C.
