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Sagot :
Bonjour POKOPOPS
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=1-(2x-4)².
1.a) Développe l’expression de f.
f(x) = 1 - (2x - 4)²
f(x) = 1 - [(2x)² - 2*2x*4 + 4²]
f(x) = 1 - (4x² - 16x + 16)
f(x) = 1 - 4x² + 16x - 16
f(x) = -4x² + 16x - 15
b) Factorise l’expression de f.
f(x) = 1 - (2x - 4)²
f(x) = 1² - (2x - 4)²
f(x) = [1 + (2x - 4)][1 - (2x - 4)]
f(x) = (1 + 2x - 4)(1 - 2x + 4)
f(x) = (2x - 3)(-2x + 5)
2.a) En utilisant la forme adaptée, résous l’inéquation f(x)≤0.
f(x) ≤ 0
(2x - 3)(-2x + 5) ≤ 0
Tableau de signes de (2x - 3)(-2x + 5)
Racines : 2x-3=0 ==> 2x=3 ==> x=3/2=1,5
-2x+5=0 ==> 2x=5 ==> x=5/2=2,5
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&1,5&&2,5&&+\infty \\ 2x-3&&-&0&+&+&+&\\-2x+5&&+&+&+&0&-&\\(2x-3)(-2x+5)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\(2x-3)(-2x+5)\le0\Longleftrightarrow x\in]-\infty\ ;\ 1,5]\ \cup\ [2,5\ ;\ +\infty[[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]-\infty\ ;\ 1,5]\ \cup\ [2,5\ ;\ +\infty[}[/tex]
b) En utilisant la forme adaptée, résous l’inéquation f(x)>-15.
f(x) > -15
-4x² + 16x - 15 > -15
-4x² + 16x > -15 + 15
-4x² + 16x > 0
-4x(x - 4) > 0
Tableau de signes de -4x(x - 4)
Racines : -4x=0 ==> x=0
x-4=0 ==> x=4
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&0&&4&&+\infty \\ -4x&&+&0&-&-&-&\\x-4&&-&-&-&0&+&\\-4x(x-4)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\-4x(x-4)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\in\ ]0\ ;\ 4[[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]0\ ;\ 4[}[/tex]
Exercice 2 :
Préliminaire : Développe (-2x+7)(x+3).
(-2x+7)(x+3) = -2x*x - 2x*3 + 7*x + 7*3
(-2x+7)(x+3) = -2x² - 6x + 7x + 21
(-2x+7)(x+3) = -2x² + x + 21
Résous algébriquement l’inéquation : -2x+ 20/(x-1)≤1.
[tex]-2x+ \dfrac{20}{x-1}\le1\\\\-2x+ \dfrac{20}{x-1}-1\le0\\\\\dfrac{-2x(x-1)}{x-1}+ \dfrac{20}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1}\le0\\\\\dfrac{-2x^2+2x+20-x+1}{x-1}\le0\\\\\dfrac{-2x^2+x+21}{x-1}\le0\\\\\dfrac{(-2x+7)(x+3)}{x-1}\le0[/tex]
Tableau de signes du quotient
racines :
Numérateur : -2x+7=0 ==> 2x=7 ==> x=7/2=3,5
x+3=0 ==> x=-3
Dénominateur : x-1=0 ==> x=1
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&-3&&1&&3,5&&+\infty \\ -2x+7&&+&+&+&+&+&0&-&\\ x+3&&-&0&+&+&+&+&+&\\ x-1&&-&-&-&0&+&+&+&\\ \frac{(-2x+7)(x+3)}{x-1}&&+&0&-&||&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\\dfrac{(-2x+7)(x+3)}{x-1}\le0\Longleftrightarrow x\in\ [-3\ ;\ 1[\ \cup\ [3,5\ ;\ +\infty[[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=[-3\ ;\ 1[\ \cup\ [3,5\ ;\ +\infty[}[/tex]
Exercice 3 :
1) Voir pièce jointe.
Traçons deux disques de rayon 500 et de centres A et B.
La portion de route sur laquelle Emma peut réaliser son record se trouve dans l'intersection des deux disques.
On peut conjecturer que la zone de la route sur laquelle le bolide d’Emma peut être enregistré par les radars A et B correspond aux abscisses x de la voiture d'Emma comprises entre -200 et 100.
2) a) A(200 ; 0) et E(x ; 0)
D'où [tex]AE=\sqrt{(x-200)^2+(300-0)^2}[/tex]
[tex]AE=\sqrt{(x-200)^2+90000}\\\\AE=\sqrt{x^2-400x+40000+90000}\\\\\boxed{AE=\sqrt{x^2-400x+130000}}[/tex]
b) La phrase surlignée conduit à l’inéquation AE ≤ 500.
[tex]\sqrt{x^2-400x+130000}\le500\\\\(\sqrt{x^2-400x+130000})^2\le500^2\\\\\boxed{x^2-400x+130000\le250000}[/tex]
[tex]c)\ x^2-400x+130000\le250000\\x^2-400x+130000-250000\le0\\x^2-400x-120000\le0\\x^2+200x-600x-120000\le0\\(x^2+200x)-(600x+120000)\le0\\x(x+200)-600(x+200)\le0\\\boxed{(x+200)(x-600)\le0}[/tex]
d) Résolvons l'inéquation (x+200)(x-600) ≤ 0
racines : -200 et 600
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-200&&600&&+\infty \\ x+200&&-&0&+&+&+&\\x-600&&-&-&-&0&+&\\(x+200)(x-600)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\(x+200)(x-600)\le0\Longleftrightarrow x\in\ [-200\ ;\ 600][/tex]
Par conséquent, la zone de la route sur laquelle le bolide d’Emma peut être enregistré par le radar A est située entre les abscisses -200 et 600.
[tex]3)a)\ B(-300;0)\ et\ E(x;300)\\\\BE=\sqrt{(x+300)^2+300^2}\\\\BE=\sqrt{x^2+600x+90000+90000}\\\\BE=\sqrt{x^2+600x+180000}\\\\BE\le500\\\\\sqrt{x^2+600x+180000}\le500\\\\x^2+600x+180000\le250000\\\\x^2+600x-70000\le0[/tex]
[tex]x^2+700x-100x-70000\le0\\\\(x^2+700x)-(100x+70000)\le0\\\\x(x+700)-100(x+700)\le0\\\\\boxed{(x+700)(x-100)\le0}[/tex]
b) Résolvons l'inéquation (x+700)(x-100) ≤ 0
Racines : -700 et 100
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-700&&100&&+\infty \\ x+700&&-&0&+&+&+&\\x-100&&-&-&-&0&+&\\(x+700)(x-100)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\(x+700)(x-100)\le0\Longleftrightarrow x\in\ [-700\ ;\ 100][/tex]
Par conséquent, la zone de la route sur laquelle le bolide d’Emma peut être enregistré par le radar B est située entre les abscisses -700 et 100.
4. Conclure en répondant au problème posé.
Nous devons déterminer la partie commune aux deux zones.
L'ensemble des éléments communs aux deux intervalles [-200 ; 600] et [-700 ; 100] est l'intervalle [-200 ; 100].
Par conséquent, la zone de la route sur laquelle le bolide d’Emma peut être enregistré par les radars A et B correspond aux abscisses x de la voiture d'Emma comprises entre -200 et 100.
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=1-(2x-4)².
1.a) Développe l’expression de f.
f(x) = 1 - (2x - 4)²
f(x) = 1 - [(2x)² - 2*2x*4 + 4²]
f(x) = 1 - (4x² - 16x + 16)
f(x) = 1 - 4x² + 16x - 16
f(x) = -4x² + 16x - 15
b) Factorise l’expression de f.
f(x) = 1 - (2x - 4)²
f(x) = 1² - (2x - 4)²
f(x) = [1 + (2x - 4)][1 - (2x - 4)]
f(x) = (1 + 2x - 4)(1 - 2x + 4)
f(x) = (2x - 3)(-2x + 5)
2.a) En utilisant la forme adaptée, résous l’inéquation f(x)≤0.
f(x) ≤ 0
(2x - 3)(-2x + 5) ≤ 0
Tableau de signes de (2x - 3)(-2x + 5)
Racines : 2x-3=0 ==> 2x=3 ==> x=3/2=1,5
-2x+5=0 ==> 2x=5 ==> x=5/2=2,5
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&1,5&&2,5&&+\infty \\ 2x-3&&-&0&+&+&+&\\-2x+5&&+&+&+&0&-&\\(2x-3)(-2x+5)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\(2x-3)(-2x+5)\le0\Longleftrightarrow x\in]-\infty\ ;\ 1,5]\ \cup\ [2,5\ ;\ +\infty[[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]-\infty\ ;\ 1,5]\ \cup\ [2,5\ ;\ +\infty[}[/tex]
b) En utilisant la forme adaptée, résous l’inéquation f(x)>-15.
f(x) > -15
-4x² + 16x - 15 > -15
-4x² + 16x > -15 + 15
-4x² + 16x > 0
-4x(x - 4) > 0
Tableau de signes de -4x(x - 4)
Racines : -4x=0 ==> x=0
x-4=0 ==> x=4
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&0&&4&&+\infty \\ -4x&&+&0&-&-&-&\\x-4&&-&-&-&0&+&\\-4x(x-4)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\-4x(x-4)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\in\ ]0\ ;\ 4[[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]0\ ;\ 4[}[/tex]
Exercice 2 :
Préliminaire : Développe (-2x+7)(x+3).
(-2x+7)(x+3) = -2x*x - 2x*3 + 7*x + 7*3
(-2x+7)(x+3) = -2x² - 6x + 7x + 21
(-2x+7)(x+3) = -2x² + x + 21
Résous algébriquement l’inéquation : -2x+ 20/(x-1)≤1.
[tex]-2x+ \dfrac{20}{x-1}\le1\\\\-2x+ \dfrac{20}{x-1}-1\le0\\\\\dfrac{-2x(x-1)}{x-1}+ \dfrac{20}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1}\le0\\\\\dfrac{-2x^2+2x+20-x+1}{x-1}\le0\\\\\dfrac{-2x^2+x+21}{x-1}\le0\\\\\dfrac{(-2x+7)(x+3)}{x-1}\le0[/tex]
Tableau de signes du quotient
racines :
Numérateur : -2x+7=0 ==> 2x=7 ==> x=7/2=3,5
x+3=0 ==> x=-3
Dénominateur : x-1=0 ==> x=1
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&-3&&1&&3,5&&+\infty \\ -2x+7&&+&+&+&+&+&0&-&\\ x+3&&-&0&+&+&+&+&+&\\ x-1&&-&-&-&0&+&+&+&\\ \frac{(-2x+7)(x+3)}{x-1}&&+&0&-&||&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\\dfrac{(-2x+7)(x+3)}{x-1}\le0\Longleftrightarrow x\in\ [-3\ ;\ 1[\ \cup\ [3,5\ ;\ +\infty[[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=[-3\ ;\ 1[\ \cup\ [3,5\ ;\ +\infty[}[/tex]
Exercice 3 :
1) Voir pièce jointe.
Traçons deux disques de rayon 500 et de centres A et B.
La portion de route sur laquelle Emma peut réaliser son record se trouve dans l'intersection des deux disques.
On peut conjecturer que la zone de la route sur laquelle le bolide d’Emma peut être enregistré par les radars A et B correspond aux abscisses x de la voiture d'Emma comprises entre -200 et 100.
2) a) A(200 ; 0) et E(x ; 0)
D'où [tex]AE=\sqrt{(x-200)^2+(300-0)^2}[/tex]
[tex]AE=\sqrt{(x-200)^2+90000}\\\\AE=\sqrt{x^2-400x+40000+90000}\\\\\boxed{AE=\sqrt{x^2-400x+130000}}[/tex]
b) La phrase surlignée conduit à l’inéquation AE ≤ 500.
[tex]\sqrt{x^2-400x+130000}\le500\\\\(\sqrt{x^2-400x+130000})^2\le500^2\\\\\boxed{x^2-400x+130000\le250000}[/tex]
[tex]c)\ x^2-400x+130000\le250000\\x^2-400x+130000-250000\le0\\x^2-400x-120000\le0\\x^2+200x-600x-120000\le0\\(x^2+200x)-(600x+120000)\le0\\x(x+200)-600(x+200)\le0\\\boxed{(x+200)(x-600)\le0}[/tex]
d) Résolvons l'inéquation (x+200)(x-600) ≤ 0
racines : -200 et 600
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-200&&600&&+\infty \\ x+200&&-&0&+&+&+&\\x-600&&-&-&-&0&+&\\(x+200)(x-600)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\(x+200)(x-600)\le0\Longleftrightarrow x\in\ [-200\ ;\ 600][/tex]
Par conséquent, la zone de la route sur laquelle le bolide d’Emma peut être enregistré par le radar A est située entre les abscisses -200 et 600.
[tex]3)a)\ B(-300;0)\ et\ E(x;300)\\\\BE=\sqrt{(x+300)^2+300^2}\\\\BE=\sqrt{x^2+600x+90000+90000}\\\\BE=\sqrt{x^2+600x+180000}\\\\BE\le500\\\\\sqrt{x^2+600x+180000}\le500\\\\x^2+600x+180000\le250000\\\\x^2+600x-70000\le0[/tex]
[tex]x^2+700x-100x-70000\le0\\\\(x^2+700x)-(100x+70000)\le0\\\\x(x+700)-100(x+700)\le0\\\\\boxed{(x+700)(x-100)\le0}[/tex]
b) Résolvons l'inéquation (x+700)(x-100) ≤ 0
Racines : -700 et 100
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-700&&100&&+\infty \\ x+700&&-&0&+&+&+&\\x-100&&-&-&-&0&+&\\(x+700)(x-100)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\(x+700)(x-100)\le0\Longleftrightarrow x\in\ [-700\ ;\ 100][/tex]
Par conséquent, la zone de la route sur laquelle le bolide d’Emma peut être enregistré par le radar B est située entre les abscisses -700 et 100.
4. Conclure en répondant au problème posé.
Nous devons déterminer la partie commune aux deux zones.
L'ensemble des éléments communs aux deux intervalles [-200 ; 600] et [-700 ; 100] est l'intervalle [-200 ; 100].
Par conséquent, la zone de la route sur laquelle le bolide d’Emma peut être enregistré par les radars A et B correspond aux abscisses x de la voiture d'Emma comprises entre -200 et 100.
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