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Urgent :
On considère la fonction f définie par la relation : f(x) = 1/2x⁴-x³-3/2x²+x+2
On munit le plan d'un repère (O;I;J) orthonormal dans lequel est représenté la courbe Cf représentative de la fonction f :
1. a. Tracer la droite (d) d'équation y= -X
b. Émettre une conjecture quant à la position relative de (d) par rapport à Cf
2. Établir vos conjecture de la question 1. b.
Classe: Première ES
Quelqu'un pour m'aider ?
PS : Oublier le lien bizarre là contentez vous seulement à rentrer la formule dans votre calculatrice ;-)

Sagot :

Afturglux
1.b) Tu peux constater que Cf est toujours au dessus de la droite [tex](d)[/tex] si tu traces les deux courbes avec ta calculatrice.

Tu peux conjecturer que c'est toujours le cas: (d) est toujours "en dessous" de Cf, ou encore [tex]f(x) \geq -x[/tex] pour tout [tex]x[/tex].

2. Pour confirmer ta conjecture, il faut prouver que [tex]f(x) \geq -x[/tex].

Cela revient à prouver que [tex]f(x) + x \geq 0[/tex]

Tu peux remarquer que les courbes se "touchent" en -1 et en 2.

Si tu as la bonne idée de poser [tex]g(x)= \frac{1}{2} (x+1)^{2} (x-2)^{2} [/tex], tu peux constater qu'en développant l'expression de [tex]g(x)[/tex], tu obtiens [tex]f(x)+x[/tex].

Autrement dit, résoudre [tex]f(x)+x \geq 0[/tex] revient à résoudre [tex]g(x) \geq 0[/tex].

Or, le tableau de signe de [tex]g[/tex] est très "facile" à obtenir. [tex]g[/tex] est toujours positive et s'annule uniquement en -1 et en 2.

Ainsi, on a bien [tex]f(x) \geq x[/tex] pour tout réel [tex]x[/tex] et les courbes se "touchent", c'est à dire qu'il y a égalité, uniquement quand [tex]x=-1[/tex] et [tex]x=2[/tex].
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