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Bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider a faire cet exercice s'il vous plait, merci d'avance.

Un conteneur parallélépipédique à basse carrée a un volume de 8 m3. On veut protéger les parois extérieures par un produit anti-rouille.
On note
x la longueur de la base et y la hauteur, exprimées en mètres.
1) Exprimer y en fonction de x.
2) Exprimer l'aire totale A(x) des parois extérieures du conteneur en fonction de x.
3)a) Démontrer que, pour tout x: xcube - 8=(x-2)(x²+2x+4)
b) En déduire le signe de xcube - 8
4)a) Etudier le sens de variation de la fonction A sur ]0 ; + infinit[
b) En déduire les dimensions du conteneur qui coûtera le moins cheren produit anti-rouille

Sagot :

Maudmarine
Bonsoir,

Un conteneur parallélépipédique à basse carrée a un volume de 8 m3. On veut protéger les parois extérieures par un produit anti-rouille.
On note x la longueur de la base et y la hauteur, exprimées en mètre.

1) Exprimer y en fonction de x. 

Rappel formule volume parallélépipède à base carrée : L² x Hauteur

Donc :

8 = x² * y

y = 8/x²

 

2) Exprimer l'aire totale A(x) des parois extérieures du conteneur en fonction de x.

L"aire de deux faces est égale à : x² cm², soit pour 4 faces : 

A(x) = 2x² + 4xy 

A (x) = 2x² + 4x (8/x²) 

A (x) = 2x² + 32/x

L"aire totale A (x) des parois extérieures du conteneur est : A (x) = 2x² + 32/x

 

3)

a) Démontrer que, pour tout x: x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4) 

(x - 2) (x² + 2x + 4) 

= x³ + 2x² + 4x - 2x² - 4x - 8 

= x³ + 2x² - 2x² + 4x - 4x - 8

= x³ - 8

b) En déduire le signe de x³ - 8 

(x² + 2x + 4) 

= (x + 1)² + 3 > 0 

x³ - 8 ≥ 0 pour x ≥ 2 

x³ - 8 ≤ 0 pour x ≤ 2

 

4)

a) Etudier le sens de variation de la fonction A sur ]0 ; + infini[ 

A(x) est dérivable sur ]0 ; + infini[ 

Donc :

A'(x) = 4x - 32/x²

Or, A'(x) est du signe de (x²/4) * A' (x) = x³ - 8 car (x²/4) ≥ 0

A est décroissante sur ]0 ; 2] 

A est croissante sur [2 ; + infini[

b) En déduire les dimensions du conteneur qui coûtera le moins cher

en produit anti-rouille

A (2) = 8 + 16

A (2) = 24 cm²

Le produit sera moins cher pour une aire de A minimale de 24 cm²

 

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