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Sagot :
Bonjour Thelord
si vous pouvez m'aider a resoudre cette limite
lim x-->pi/6 (2sin^2x-5sinx+2)/(x-pi/6)
Soit [tex]f(x)=2\sin^2x -5\sin x[/tex]
Alors
[tex]f(\dfrac{\pi}{6})=2\sin^2\dfrac{\pi}{6} -5\sin \dfrac{\pi}{6}\\\\f(\dfrac{\pi}{6})=2\times(\dfrac{1}{2})^2 -5\times\dfrac{1}{2}\\\\f(\dfrac{\pi}{6})=2\times\dfrac{1}{4} -\dfrac{5}{2}\\\\f(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2} -\dfrac{5}{2}\\\\f(\dfrac{\pi}{6})= -\dfrac{4}{2}\\\\\boxed{f(\dfrac{\pi}{6})=-2}[/tex]
On en déduit que :
[tex]\dfrac{f(x)-f(\dfrac{\pi}{6})}{x-\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{2\sin^2x -5\sin x-(-2)}{x-\dfrac{\pi}{6}}\\\\\boxed{\dfrac{f(x)-f(\dfrac{\pi}{6})}{x-\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{2\sin^2x -5\sin x+2}{x-\dfrac{\pi}{6}}}[/tex]
D'où
[tex]\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{2\sin^2x -5\sin x+2}{x-\dfrac{\pi}{6}}=\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{f(x)-f(\dfrac{\pi}{6})}{x-\dfrac{\pi}{6}}\\\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{2\sin^2x -5\sin x+2}{x-\dfrac{\pi}{6}}=f'(\dfrac{\pi}{6})}[/tex]
Or
[tex]f(x)=2\sin^2x -5\sin x\\\\\Longrightarrow f'(x)=4\sin x\cos x-5\cos x\\\\\Longrightarrow f'(\dfrac{\pi}{6})=4\sin \dfrac{\pi}{6}\cos \dfrac{\pi}{6}-5\cos \dfrac{\pi}{6}\\\\f'(\dfrac{\pi}{6})=4\times \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}-5\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\f'(\dfrac{\pi}{6})=2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}-5\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\f'(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\\\\\boxed{f'(\dfrac{\pi}{6})=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed {\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{2\sin^2x -5\sin x+2}{x-\dfrac{\pi}{6}}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}[/tex]
si vous pouvez m'aider a resoudre cette limite
lim x-->pi/6 (2sin^2x-5sinx+2)/(x-pi/6)
Soit [tex]f(x)=2\sin^2x -5\sin x[/tex]
Alors
[tex]f(\dfrac{\pi}{6})=2\sin^2\dfrac{\pi}{6} -5\sin \dfrac{\pi}{6}\\\\f(\dfrac{\pi}{6})=2\times(\dfrac{1}{2})^2 -5\times\dfrac{1}{2}\\\\f(\dfrac{\pi}{6})=2\times\dfrac{1}{4} -\dfrac{5}{2}\\\\f(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2} -\dfrac{5}{2}\\\\f(\dfrac{\pi}{6})= -\dfrac{4}{2}\\\\\boxed{f(\dfrac{\pi}{6})=-2}[/tex]
On en déduit que :
[tex]\dfrac{f(x)-f(\dfrac{\pi}{6})}{x-\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{2\sin^2x -5\sin x-(-2)}{x-\dfrac{\pi}{6}}\\\\\boxed{\dfrac{f(x)-f(\dfrac{\pi}{6})}{x-\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{2\sin^2x -5\sin x+2}{x-\dfrac{\pi}{6}}}[/tex]
D'où
[tex]\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{2\sin^2x -5\sin x+2}{x-\dfrac{\pi}{6}}=\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{f(x)-f(\dfrac{\pi}{6})}{x-\dfrac{\pi}{6}}\\\\\\\boxed{\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{2\sin^2x -5\sin x+2}{x-\dfrac{\pi}{6}}=f'(\dfrac{\pi}{6})}[/tex]
Or
[tex]f(x)=2\sin^2x -5\sin x\\\\\Longrightarrow f'(x)=4\sin x\cos x-5\cos x\\\\\Longrightarrow f'(\dfrac{\pi}{6})=4\sin \dfrac{\pi}{6}\cos \dfrac{\pi}{6}-5\cos \dfrac{\pi}{6}\\\\f'(\dfrac{\pi}{6})=4\times \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}-5\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\f'(\dfrac{\pi}{6})=2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}-5\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\f'(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\\\\\boxed{f'(\dfrac{\pi}{6})=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed {\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{2\sin^2x -5\sin x+2}{x-\dfrac{\pi}{6}}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}[/tex]
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