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Sagot :
Bonjour Karimelou
Volume de l'eau avant le placement de la bille = volume d'un cylindre de hauteur 10 cm et dont le rayon de la base est 20 cm.
[tex]\\\\V_1=\pi\times20^2\times 10\\\\V_1=\pi\times400\times 10\\\\\boxed{V_1=4000\pi\ cm^3}[/tex]
Soit R le rayon de la bille.
Alors le volume de la bille est égal à [tex]\boxed{V_2=\dfrac{4}{3}\pi R^3\ (cm^3)}[/tex]
Après avoir placé la bille dans le récipient, le volume total (eau + bille) est égal à [tex]\boxed{V_3=4000\pi+\dfrac{4}{3}\pi R^3}[/tex]
Puisque l'eau recouvre exactement la bille, ce volume [tex]V_3[/tex] est égal au volume d'un cylindre de hauteur 2R (le diamètre de la bille) et dont le rayon de la base est 20 cm.
Ce volume est égal à [tex]\pi\times20^2\times 2R=\pi\times400\times 2R=\boxed{800\pi R}[/tex]
D'où,
[tex]4000\pi+\dfrac{4}{3}\pi R^3=800\pi R\\\\4000+\dfrac{4}{3} R^3=800 R\\\\12000+4R^3=2400 R\\\\4R^3-2400R+12000=0\\\\R^3-600R+3000=0[/tex]
La résolution de cette équation peut se trouver par l'étude de la fonction f définie par [tex]f(R)=R^3-600R+3000[/tex]
Nous avons : f(5) = 125 >0 et f(6) = -384 < 0.
Par le TVI, nous savons que f admet une racine comprise entre 5 et 6.
Par dichotomie, nous trouverions qu'une racine de f est environ égale à 5,2398.
Par conséquent, le problème est possible si le rayon de la bille mesure environ 5,2398 cm.
Volume de l'eau avant le placement de la bille = volume d'un cylindre de hauteur 10 cm et dont le rayon de la base est 20 cm.
[tex]\\\\V_1=\pi\times20^2\times 10\\\\V_1=\pi\times400\times 10\\\\\boxed{V_1=4000\pi\ cm^3}[/tex]
Soit R le rayon de la bille.
Alors le volume de la bille est égal à [tex]\boxed{V_2=\dfrac{4}{3}\pi R^3\ (cm^3)}[/tex]
Après avoir placé la bille dans le récipient, le volume total (eau + bille) est égal à [tex]\boxed{V_3=4000\pi+\dfrac{4}{3}\pi R^3}[/tex]
Puisque l'eau recouvre exactement la bille, ce volume [tex]V_3[/tex] est égal au volume d'un cylindre de hauteur 2R (le diamètre de la bille) et dont le rayon de la base est 20 cm.
Ce volume est égal à [tex]\pi\times20^2\times 2R=\pi\times400\times 2R=\boxed{800\pi R}[/tex]
D'où,
[tex]4000\pi+\dfrac{4}{3}\pi R^3=800\pi R\\\\4000+\dfrac{4}{3} R^3=800 R\\\\12000+4R^3=2400 R\\\\4R^3-2400R+12000=0\\\\R^3-600R+3000=0[/tex]
La résolution de cette équation peut se trouver par l'étude de la fonction f définie par [tex]f(R)=R^3-600R+3000[/tex]
Nous avons : f(5) = 125 >0 et f(6) = -384 < 0.
Par le TVI, nous savons que f admet une racine comprise entre 5 et 6.
Par dichotomie, nous trouverions qu'une racine de f est environ égale à 5,2398.
Par conséquent, le problème est possible si le rayon de la bille mesure environ 5,2398 cm.
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