Bonjour Nocomprende
Partie A
[tex]1)\ a=\ln 4\ car\ e^{\ln 4}=4[/tex]
[tex]2)\ A+\int\limits_0^ae^xdx[/tex] représente l'aire du rectangle dont la base mesure a=ln 4 et la hauteur est égale à 4.
Cette aire est égale à base * hauteur = 4 * ln 4
Donc
[tex]A+\int\limits_0^ae^xdx=4\ln 4\\\\A+\int\limits_0^ae^xdx=4\ln 2^2\\\\A+\int\limits_0^ae^xdx=4\times2\ln 2\\\\\boxed{A+\int\limits_0^ae^xdx=8\ln 2}[/tex]
[tex]3)\ \int\limits_0^ae^x\ dx=[e^x]\limits_0^a=e^a-e^0\\\\\int\limits_0^ae^x\ dx=e^a-1\\\\\int\limits_0^ae^x\ dx=e^{\ln4}-1\\\\\int\limits_0^ae^x\ dx=4-1\\\\\boxed{\int\limits_0^ae^x\ dx=3}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{A=8\ln 2 - 3}[/tex]
[tex]4)\ \int\limits_1^4\ln x\ dx=Aire\ domaine\ D'\\\\\int\limits_1^4\ln x\ dx=Aire\ domaine\ D\\\\\int\limits_1^4\ln x\ dx=A\\\\\boxed{\int\limits_1^4\ln x\ dx=8\ln 2-3}[/tex]
Partie B
1) Nous devons avoir : F'(x) = lnx
[tex]F'(x)=[x(k+\ln x)]'\\\\F'(x)=x'\times(k+\ln x)+x\times(k+\ln x)'\\\\F'(x)=1\times(k+\ln x)+x\times(0+\dfrac{1}{x})\\\\F'(x)=(k+\ln x)+x\times\dfrac{1}{x}\\\\F'(x)=k+\ln x+1[/tex]
D'où
[tex]F'(x)=\ln x\Longleftrightarrow k+\ln x+1=\ln x\\\\F'(x)=\ln x\Longleftrightarrow k+1=0\\\\F'(x)=\ln x\Longleftrightarrow \boxed{k=-1}[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{F(x)=x(-1+\ln x)}[/tex]
[tex]2)\ \int\limits_1^4\ln x\ dx=[x(-1+\ln x)]\limits_1^4\\\\\int\limits_0^4\ln x\ dx=4(-1+\ln 4)-1(-1+\ln 1)\\\\\int\limits_0^4\ln x\ dx=-4+4\ln 4+1-0\\\\\int\limits_0^4\ln x\ dx=-3+4\ln 4\\\\\int\limits_0^4\ln x\ dx=-3+4\ln 2^2\\\\\int\limits_0^4\ln x\ dx=-3+4\times2\ln 2\\\\\boxed{\int\limits_0^4\ln x\ dx=-3+8\ln 2}[/tex]
Ce résultat est bien identique à celui du calcul d'aires de la partie A.
