Bonjour Emmadu38
[tex]f(x)=\dfrac{\ln(x+3)}{x+3}[/tex]
[tex]1)a)\ f'(x)=[\dfrac{\ln(x+3)}{x+3}]'\\\\f'(x)=\dfrac{[\ln(x+3)]'\times(x+3)-\ln(x+3)\times (x+3)'}{(x+3)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x+3}\times(x+3)-\ln(x+3)\times 1}{(x+3)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{1-\ln(x+3)}{(x+3)^2}}[/tex]
[tex]b)\ Soit\ X=x+3\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+3)}{x+3}=\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X)}{X}=0 \\\\\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+3)}{x+3}=0 }[/tex]
c) Tableau de variation de f.
Signe de la dérivée et tableau :
[tex]x\ge0\Longrightarrow \boxed{(3+x)^2\ \textgreater \ 0} \\\\x+3\ \textgreater \ 3\ \textgreater \ e\Longrightarrow\ln(x+3)\ \textgreater \ \ln e\Longrightarrow\ln(x+3)\ \textgreater \ 1\\\Longrightarrow\boxed{1-\ln(x+3)\ \textless \ 0}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&&&&&+\infty \\ 1-\ln(x+3)&&&&-&&&\\(x+3)^2&&&&+&&&\\f'(x)&&&&-&&&\\f(x)&\frac{\ln 3}{3}&&&\searrow&&&0\\ \end{array}[/tex]
[tex]2)\ u_n=\int\limits_n^{n+1}f(x)\ dx[/tex]
a) f est décroissante sur [0,+oo[
D'où pour tout x dans l'intervalle [0;+oo[,
[tex]n \le x \le n + 1\Longrightarrow f(n+1)\le f(x)\le f(n)[/tex]
b) Pour tout n ∈ [n ; n+1], nous savons que [tex]f(n+1)\le f(x)\le f(n)[/tex]
Par la croissance de l'intégrale, nous en déduisons que
[tex]\int\limits_n^{n+1}f(n+1)\ dx\le \int\limits_n^{n+1}f(x)\ dx\le \int\limits_n^{n+1}f(n)\ dx\\\\\ \ [f(n+1)x]\limits_n^{n+1}\le u_n\le [f(n)x]\limits_n^{n+1}\\\\\ \ f(n+1)[x]\limits_n^{n+1}\le u_n\le f(n)[x]\limits_n^{n+1}\\\\\ \ f(n+1)[(n+1)-n]\le u_n\le f(n)[(n+1)-n]\\\\\ \ f(n+1)\times 1\le u_n\le f(n)\times 1\\\\\ \ \boxed{f(n+1)\le u_n\le f(n)}[/tex]
c) [tex]\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}f(n+1)=0}\ \ et\ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}f(n)=0}\ \ car \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0[/tex]
Par le théorème des gendarmes, on en déduit que la suite (un) est convergente et que [tex]\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}[/tex]
[tex]3)\ F(x)=[\ln(x+3)]^2[/tex]
[tex]a)\ F'(x)=2\times[\ln(x+3)]'\times \ln(x+3)\\\\F'(x)=2\times\dfrac{1}{x+3}\times \ln(x+3)\\\\\boxed{F'(x)=2\times\dfrac{\ln(x+3)}{x+3}}[/tex]
[tex]b) F'(x)=2\times\dfrac{\ln(x+3)}{x+3}\Longrightarrow F'(x)=2\times f(x)\\\\\Longrightarrow F'(x)=2\times f(x)\\\\\Longrightarrow f(x)=[\dfrac{1}{2}\times F(x)]'[/tex]
D'où [tex]\dfrac{1}{2}\times F(x)[/tex] est une primitive de f(x).
Par conséquent,
[tex]I_n=\int\limits_0^n f(x)\ dx=[\dfrac{1}{2}F(x)]\limits_0^n=\dfrac{1}{2}[F(x)]\limits_0^n\\\\\\I_n=\dfrac{1}{2}[F(n)-F(0)]\\\\\\\boxed{I_n=\dfrac{1}{2}\{[\ln(n+3)]^2-(\ln 3)^2\}}[/tex]
[tex]4)a)\ S_n=u_0+u_1+...+u_{n-1}\\\\S_n=\int\limits_0^1 f(x)\ dx+\int\limits_1^2 f(x)\ dx+...+\int\limits_{n-1}^n f(x)\ dx\\\\\\S_n=\int\limits_0^n f(x)\ dx\ \ (par\ lin\acute{e}arit\acute{e})\\\\S_n=I_n\\\\\boxed{S_n=\dfrac{1}{2}\{[\ln(n+3)]^2-(\ln 3)^2\}}[/tex]
[tex]b)\ \lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2}\{[\ln(n+3)]^2-(\ln 3)^2\}\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{1}{2}\times\lim\limits_{n\to+\infty}\{[\ln(n+3)]^2-(\ln 3)^2\}\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{1}{2}\times[+\infty-(\ln 3)^2]\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{1}{2}\times[+\infty]\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=+\infty}[/tex]
Par conséquent, la suite (Sn) est divergente.
