Bonjour Matholome
[tex]V(h)=-\dfrac{1}{3}\pi h^3+75\pi h[/tex]
3) Variations de la fonction V sur l'intervalle [0 ; 15]
[tex]V'(h)=(-\dfrac{1}{3}\pi h^3+75\pi h)'\\\\V'(h)=-\dfrac{1}{3}\pi\times3h^2+75\pi\times1\\\\V'(h)=-\pi h^2+75\pi\\\\V'(h)=\pi(75- h^2)\\\\V'(h)=\pi(\sqrt{75}- h)(\sqrt{75}+ h)\\\\\boxed{V'(h)=\pi(5\sqrt{3}- h)(5\sqrt{3}+ h)}[/tex]
Tableau de signes de la dérivée dans l'intervalle [0 ; 15] et variation de V :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&5\sqrt{3}&&15 \\ \pi(5\sqrt{3}- h)&&+&0&-&\\(5\sqrt{3}+ h)&&+&+&+&\\V'(h)&&+&0&-&\\V(h)&V(0)&\nearrow&V(5\sqrt{3})&\searrow&V(15)\\ \end{array}[/tex]
Or
[tex]V(0) = 0\\V(15)=0\\V(5\sqrt{3})=250\pi\sqrt{3}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&5\sqrt{3}&&15 \\ V(h)&0)&\nearrow&250\pi\sqrt{3}&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
La fonction V est croissante sur ]0 ; 5√3 ] et décroissante sur [5√3 ; 15].
4) a) Le volume du cône sera donc maximal si h = 5√3 cm.
b) Le demi-angle au sommet est l’angle ASB.
Dans le triangle ASB rectangle en A,
[tex]\cos(\widehat{ASB})=\dfrac{SA}{SB}\\\\\cos(\widehat{ASB})=\dfrac{h}{15}\\\\\cos(\widehat{ASB})=\dfrac{5\sqrt{3}}{15}\\\\\cos(\widehat{ASB})=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\\\widehat{ASB}=\cos^{-1}(\dfrac{\sqrt{3}}{3})\\\\\boxed{\widehat{ASB}\approx55^o}[/tex]
Par conséquent, la mesure du demi-angle au sommet du cône est environ de 55° (arrondi au degré près)
