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J'aurais besoin d'aide s'il vous plait (si possible détaillé pour que je puisse comprendre la démarche merci)

 

Soit n un entier relatif supérieur ou égal à 2

On pose a= n+3 et b= 2n+1

 

a) Calculer (2a-b), en déduir les valeurs possibles de d = PGCD(a;b)

b) Montrer que PGCD(a;b)=PGCD(n-2;5)

c) Démontrer que a et b sont pultiples de 5 si et seulement si (n-2) est multiple de 5

 

Réponse :

a) 2a-b = 2(n+3)-(2n+1) = 2n+6-2n-1 = 5

A partir la je n'y arrive pas

Sagot :

Soit n un entier relatif supérieur ou égal à 2

 

On pose a= n+3 et b= 2n+1

 

 

 

a) Calculer (2a-b), en déduir les valeurs possibles de d = PGCD(a;b)

2a-b=2(n+3)-(2n+1)

        =2n+6-2n-1

        =5

ainsi : 2*a+(-1)*b=5

d'apres le th de Bezout : pgcd(a,b)=5

 

 

b) Montrer que PGCD(a;b)=PGCD(n-2;5)

pgcd(a,b)=pgcd(b-a,2a-b)

or b-a=(2n+1)-(n+3)

           =2n+1-n-3

           =n-2

et 2a-b=5

donc pgcd(a,b)=pgcd(n-2,5)

 

 

c) Démontrer que a et b sont pultiples de 5 si et seulement si (n-2) est multiple de 5

 

 a et b sont multiples de 5 si a=5k et b=5k'

donc si pgcd(a,b)=5

alors pgcd(n-2,5)=5

donc n-2=5k"

donc n-2 est multiple de 5

 

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