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Seezy
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Une entreprise fabrique chaque jour x objets avec x ∈ [0.60].
Le coût total de production de ces objets, exprimé en euros, est donné par f(x)=x²-20x+ 200.

1) Chaque objet est vendu au prix unitaire de 34 euros.
Exprimer , en fonction de x, la recette R(x) pour la vente de x objets.

2) Le bénefice est défini par : bénefice = recette - coût total de production.
Justifiez que le bénéfice réalisé pour la production et la vente de x objets est :
g(x) = -x²+54x - 200 pour x∈[0;60]

4) a) Quel est le nombre d'objets à produire permettant à l'entreprise de réaliser une bénéfice maximal ?
b) Quel est ce benefice maximal ?

5) a) MOntrer que g(x) = (50 - x)(x - 4 ).
b) resoudre l'inequation g(x) \geq 0 sur l'intervalle [0;60]
c) En déduire les quantités que l'entreprise doit produire et vendre pour que la production soit rentable.[tex] \geq [/tex]

Sagot :

Moananui
Bonjour,

1) R(x) = 34x   (nbre d'objets vendus * prix d'un objet)

2) g(x) = R(x) - f(x) = 34x - (x^2 - 20x + 200) = -x^2 + 54x - 200

4)a/ La fonction g admet un maximum pour x = -54/(2*(-1)) = 27
b/ Le bénéfice correspondant est alors égal à g(27) = 529.

5)a/ (50 - x)(x - 4) = 50x - 50*4 - x^2 + 4x = -x^2 + 54x - 200 = g(x)

g(x) est un produit de deux facteurs.
g(x) est positif ssi les deux facteurs sont de même signe

[tex]g(x)\geq 0 \Leftrightarrow \left \{ {{50-x\ \geq \ 0 \ et\ x-4\ \geq \ 0\ ou} \atop{50-x\ \leq \ 0 \ et\ x-4\ \leq \ 0} } \right. \\ \Leftrightarrow \left \{ {{50\ \geq \ x \ et\ x\ \geq \ 4\ ou} \atop{50\ \leq \ x \ et\ x\ \leq \ 4} } \right.\\ \Leftrightarrow x\in [4\ ;\ 50][/tex]

La production est rentable quand le bénéfice est positif, ce qui correspond à une production minimale de 4 objets, et maximale de 50 objets.
Le bénéfice est alors maximal pour 27 objets.
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