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Sagot :
Bonjour Tomfernando
1) a) x² - 1 = x² - 1²
x² - 1 = (x + 1)(x - 1)
b) Tableau de signes de f sur ]0 ; +oo[
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty \\ 2&+&+&+&+&\\x+1&+&+&+&+&\\ x-1&-&-&0&+&\\ x&0&+&+&+&\\f(x)&||&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
2) g(x) = x² - 2lnx
a) La fonction "carré" est définie sur l'ensemble R.
La fonction ln est définie sur l'intervalle ]0 ; +oo[
D'où, la fonction g ne peut être définie que sur ]0 ; +oo[
[tex]g'(x)=(x^2-2\ln x)'\\\\g'(x)=(x^2)'-2(\ln x)'\\\\g'(x)=2x-2\times\dfrac{1}{x}\\\\g'(x)=2x-\dfrac{2}{x}\\\\\boxed{g'(x)=2(x-\dfrac{1}{x})}[/tex]
[tex]b)\ g'(x)=2(x-\dfrac{1}{x})\\\\g'(x)=2(\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{x})\\\\g'(x)=2(\dfrac{x^2-1}{x})\\\\g'(x)=\dfrac{2(x^2-1)}{x}\\\\\boxed{g'(x)=f(x)}[/tex]
c) Le signe de la dérivée g'(x) sera donc le même que celui de f(x).
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty \\f(x)&||&-&0&+&\\g'(x)&||&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
g'(x) < 0 si x € ]0 ; 1[
g'(x) > 0 si x € ]1 ; +oo[
d) tableau de variations de g sur l'intervalle [0,1 ; 3]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0,1&&1&&3 \\g'(x)&-&-&0&+&+\\g(x)&4,6&\searrow&g(1)=1&\nearrow&6,8\\ \end{array}[/tex]
e) g(1/2) = 1/4 - 2 ln(1/2) ≈ 1,6
g(2) = 4 - 2 ln(2) ≈ 2,6
g(3) = 9 - 2 ln(3) ≈ 6,8
Une équation de la tangente T au point d'abscisse 1/2 est de la forme :
y = g'(1/2) (x - 1/2) + g(1/2)
Or
g(1/2) ≈ 1,6
[tex]g'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{2[(\dfrac{1}{2})^2-1]}{\dfrac{1}{2}}\\\\g'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{2[\dfrac{1}{4}-1]}{\dfrac{1}{2}}\\\\g'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{2\times(-\dfrac{3}{4})}{\dfrac{1}{2}}\\\\g'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}\\\\\boxed{g'(\dfrac{1}{2})=-3}[/tex]
D'où
l'équation de la tangente T est :
[tex]y=-3(x-\dfrac{1}{2})+1,6\\\\y=-3x+\dfrac{3}{2}+1,6\\\\y=-3x+1,5+1,6\\\\\boxed{y=-3x+3,1}[/tex]
Graphique en pièce jointe.
Coordonnées du point d'intersection entre C et D.
Il faut résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=x^2-2\ln x\\x=e\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=e^2-2\ln e\\x=e\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=e^2-2\times1\\x=e\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}y=e^2-2\\x=e\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent,
les coordonnées su point d'intersection entre C et D sont (e ; e²-2).
1) a) x² - 1 = x² - 1²
x² - 1 = (x + 1)(x - 1)
b) Tableau de signes de f sur ]0 ; +oo[
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty \\ 2&+&+&+&+&\\x+1&+&+&+&+&\\ x-1&-&-&0&+&\\ x&0&+&+&+&\\f(x)&||&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
2) g(x) = x² - 2lnx
a) La fonction "carré" est définie sur l'ensemble R.
La fonction ln est définie sur l'intervalle ]0 ; +oo[
D'où, la fonction g ne peut être définie que sur ]0 ; +oo[
[tex]g'(x)=(x^2-2\ln x)'\\\\g'(x)=(x^2)'-2(\ln x)'\\\\g'(x)=2x-2\times\dfrac{1}{x}\\\\g'(x)=2x-\dfrac{2}{x}\\\\\boxed{g'(x)=2(x-\dfrac{1}{x})}[/tex]
[tex]b)\ g'(x)=2(x-\dfrac{1}{x})\\\\g'(x)=2(\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{x})\\\\g'(x)=2(\dfrac{x^2-1}{x})\\\\g'(x)=\dfrac{2(x^2-1)}{x}\\\\\boxed{g'(x)=f(x)}[/tex]
c) Le signe de la dérivée g'(x) sera donc le même que celui de f(x).
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty \\f(x)&||&-&0&+&\\g'(x)&||&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
g'(x) < 0 si x € ]0 ; 1[
g'(x) > 0 si x € ]1 ; +oo[
d) tableau de variations de g sur l'intervalle [0,1 ; 3]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0,1&&1&&3 \\g'(x)&-&-&0&+&+\\g(x)&4,6&\searrow&g(1)=1&\nearrow&6,8\\ \end{array}[/tex]
e) g(1/2) = 1/4 - 2 ln(1/2) ≈ 1,6
g(2) = 4 - 2 ln(2) ≈ 2,6
g(3) = 9 - 2 ln(3) ≈ 6,8
Une équation de la tangente T au point d'abscisse 1/2 est de la forme :
y = g'(1/2) (x - 1/2) + g(1/2)
Or
g(1/2) ≈ 1,6
[tex]g'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{2[(\dfrac{1}{2})^2-1]}{\dfrac{1}{2}}\\\\g'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{2[\dfrac{1}{4}-1]}{\dfrac{1}{2}}\\\\g'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{2\times(-\dfrac{3}{4})}{\dfrac{1}{2}}\\\\g'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}\\\\\boxed{g'(\dfrac{1}{2})=-3}[/tex]
D'où
l'équation de la tangente T est :
[tex]y=-3(x-\dfrac{1}{2})+1,6\\\\y=-3x+\dfrac{3}{2}+1,6\\\\y=-3x+1,5+1,6\\\\\boxed{y=-3x+3,1}[/tex]
Graphique en pièce jointe.
Coordonnées du point d'intersection entre C et D.
Il faut résoudre le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=x^2-2\ln x\\x=e\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=e^2-2\ln e\\x=e\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=e^2-2\times1\\x=e\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}y=e^2-2\\x=e\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent,
les coordonnées su point d'intersection entre C et D sont (e ; e²-2).
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