Déterminer une aire sous une courbe
1. Nous sommes en présence d'une courbe représentant la fonction f(x)=x² sur l'intervalle [0;1].
Les 4 intervalles ont même longueur donc 1/4 = 1/4
a) Chaque rectangle à pour longueur 1/4 et pour largeur f(x). On prend le x sur la droite de chaque rectangle donc x vaut pour le premier 1/4, le second : 2/4 et troisième : 3/4
On appelle les aires A1, A2 et A3
La somme S1 = A1+A2+A3
L'aire vaut 1/4*f(x), (* siginife multiplié par) donc
S1 = 1/4*f(1/4) + 1/4*f(2/4) + 1/4*f(3/4)
S1 = 1/4(1/4²+2/4²+(3/4)²)
S1 = 1/4*(1+4+9)/4
S1 = 14/64
S1 = 7/32 = 0.21875
b) Chaque rectangle à pour longueur 1/4 et pour largeur f(x). On prend le x sur la guche de chaque rectangle donc x vaut pour le premier 1/4, le second : 2/4 et troisième : 3/4 et le quatrième : 1
Les aires A1, A2 et A3 sont les mêmes sur la figure 1 et la figure 2.
Sur la figure 2 nous avons en plus l'aire A4 = 1/4*f(1) = 1/4
S2 = A1+A2+A3+A4
S2 = S1 + A4
S2 = 7/32 + 1/4
S2 = 7/32 + 8/32
S2 = 15/32 = 0.46875
c) A1 < A < A2
0.21875 < A < 0.46875
2. Avec n intervalles (tu as compris, il me semble)
2 Satisfaction et envie
a) Si f est une fonction de la forme ax²+bx+c alors :
- sa représentation graphique est une parabole
- sa dérivée est 2ax+b donc une fonction affine représentée par une droite
Donc, ici, la parabole représente la fonction f ,fonction de satisfaction et la droite la fonction v, la fonction envie, la dérivée de la fonction f.
b) On sait que v est une fonction affine donc v(x) = ax+b
Sur le graphique on voit :
v(0) = 50
donc
a*0 + b = 50
b = 50
et
V(4) = 0
a*4 + 50 = 0
4a = -50
a = -50/4
a = -12.5
Donc v(x) = -12.5x+50
c) la dérivée de f(x) est v(x) = 2ax+b
or v(x) = -12.5x +50
donc b = 50 et a = -12.5/2 = -6.25
on peut en conclure que :
f(x) = -6.25x² + 50x
d) d'après le graphique f(0) = 0 et f(4) = 100
donc f(4) - f(0) = 100
l'aire sous la droites v et entre les droites x = 0 et x =4
Sur le graphique on voit que cette partie forme un triangle rectangle de largeur 4 et de hauteur 50
Or l'aire du triangle = largeur*hauteur/2
Donc l'aire = 50*4/2 = 50*2 = 100
On constate que l'aire sous la courbe de v est égale à f(4)-f(0)
