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Sagot :
Bonjour Marieetbaptiste
1) u0 = 50.
u1 correspond au montant des économies de Pierre au soir du 31 janvier 2015.
Pour déterminer u1, il faut d'abord ajouter les 40 € de ses parents (50+40=90 €) et ensuite retirer 20% de ces 90 €, ce qui revient à multiplier 90 par 0,8.
==> u1 = 0,8 * 90 = 72 €.
a ) Calcul de u2.
u2 = 0,8 * (72 + 40)
u2 = 0,8 * 112
u2 = 89,6.
[tex]b)\ u_{n+1}=0,8\times(u_n+40)\\\\u_{n+1}=0,8\times u_n+0,8\times40\\\\\boxed{u_{n+1}=0,8\times u_n+32}[/tex]
[tex]2)\ v_n=u_n-160[/tex]
[tex]a)\ v_{n+1}=u_{n+1}-160\\\\v_{n+1}=(0,8\times u_{n}+32)-160\\\\v_{n+1}=0,8\times u_{n}+32-160\\\\v_{n+1}=0,8\times \timesu_{n}-128\\\\v_{n+1}=0,8\times u_{n}-0,8\times160\\\\v_{n+1}=0,8\times (u_{n}-160)\\\\\boxed{v_{n+1}=0,8\times v_n}[/tex]
D'où (vn) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme [tex]v_0=u_0-160=50-160=\boxed{-110}[/tex]
b) Par conséquent,
[tex]v_n=v_0\times0,8^n\\\\v_n=-110\times0,8^n[/tex]
Or [tex]v_n=u_n-160\Longrightarrow u_n=v_n+160[/tex]
D'où
[tex]u_n=-110\times0,8^n+160\\\\\boxed{u_n=160-110\times0,8^n}[/tex]
[tex]3a)\ 160-110\times 0,8^n\ge150\\\\-110\times 0,8^n\ge150-160\\\\-110\times 0,8^n\ge-10\\\\0,8^n\le\dfrac{-10}{-110}\\\\0,8^n\le\dfrac{1}{11}[/tex]
Or [tex]\dfrac{1}{11}\approx0,09[/tex]
Il faut donc déterminer le plus petit entier n tel que [tex]0,8^n\le0,09[/tex]
En utilisant un tableur, nous verrions que n doit être supérieur ou égal à 11.
En effet
[tex]\\\\0,8^{10}\approx0,11\ \textgreater \ 0,09\\\\0,8^{11}\approx0,085\ \textless \ 0,09[/tex]
D'où le plus petit entier vérifiant l'inéquation est n = 11.
b) Par conséquent, Pierre aura économisé la somme nécessaire à l’achat du smartphone au terme du 11ème mois.
1) u0 = 50.
u1 correspond au montant des économies de Pierre au soir du 31 janvier 2015.
Pour déterminer u1, il faut d'abord ajouter les 40 € de ses parents (50+40=90 €) et ensuite retirer 20% de ces 90 €, ce qui revient à multiplier 90 par 0,8.
==> u1 = 0,8 * 90 = 72 €.
a ) Calcul de u2.
u2 = 0,8 * (72 + 40)
u2 = 0,8 * 112
u2 = 89,6.
[tex]b)\ u_{n+1}=0,8\times(u_n+40)\\\\u_{n+1}=0,8\times u_n+0,8\times40\\\\\boxed{u_{n+1}=0,8\times u_n+32}[/tex]
[tex]2)\ v_n=u_n-160[/tex]
[tex]a)\ v_{n+1}=u_{n+1}-160\\\\v_{n+1}=(0,8\times u_{n}+32)-160\\\\v_{n+1}=0,8\times u_{n}+32-160\\\\v_{n+1}=0,8\times \timesu_{n}-128\\\\v_{n+1}=0,8\times u_{n}-0,8\times160\\\\v_{n+1}=0,8\times (u_{n}-160)\\\\\boxed{v_{n+1}=0,8\times v_n}[/tex]
D'où (vn) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme [tex]v_0=u_0-160=50-160=\boxed{-110}[/tex]
b) Par conséquent,
[tex]v_n=v_0\times0,8^n\\\\v_n=-110\times0,8^n[/tex]
Or [tex]v_n=u_n-160\Longrightarrow u_n=v_n+160[/tex]
D'où
[tex]u_n=-110\times0,8^n+160\\\\\boxed{u_n=160-110\times0,8^n}[/tex]
[tex]3a)\ 160-110\times 0,8^n\ge150\\\\-110\times 0,8^n\ge150-160\\\\-110\times 0,8^n\ge-10\\\\0,8^n\le\dfrac{-10}{-110}\\\\0,8^n\le\dfrac{1}{11}[/tex]
Or [tex]\dfrac{1}{11}\approx0,09[/tex]
Il faut donc déterminer le plus petit entier n tel que [tex]0,8^n\le0,09[/tex]
En utilisant un tableur, nous verrions que n doit être supérieur ou égal à 11.
En effet
[tex]\\\\0,8^{10}\approx0,11\ \textgreater \ 0,09\\\\0,8^{11}\approx0,085\ \textless \ 0,09[/tex]
D'où le plus petit entier vérifiant l'inéquation est n = 11.
b) Par conséquent, Pierre aura économisé la somme nécessaire à l’achat du smartphone au terme du 11ème mois.
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