Bonjour Taarik8
1) Figure en pièce jointe.
[tex]2)a)\ \overrightarrow{EF}:(x_F-x_E;y_F-y_E)\\\overrightarrow{EF}:(2+4;1-2)\\\\\boxed{\overrightarrow{EF}:(6;-1)}\\\\b)\ C(x_C;y_C)=(\dfrac{x_A+x_F}{2};\dfrac{y_A+y_F}{2})\\\\C(x_C;y_C)=(\dfrac{-6+2}{2};\dfrac{-2+1}{2})\\\\\boxed{C(x_C;y_C)=(-2;\dfrac{-1}{2})}[/tex]
c) EFGA est un parallélogramme si et seulement si [tex]\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{EF}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{EF}\\\\(x_G-x_A;y_G-y_A)=(6;-1)\\(x_G+6;y_G+2)=(6;-1)\\\\\left\{\begin{matrix}x_G+6=6\\y_G+2=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_G=6-6\\y_G=-1-2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_G=0\\y_G=-3 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow \boxed{G(0;-3)}[/tex]
3) a) Les points A, B et F sont alignés car la relation [tex]\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AF}[/tex] signifie que les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}\ \ et\ \ \overrightarrow{AF}[/tex] sont colinéaires.
[tex]b)\ \overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AF}\\\\(x_B+6;y_B+2)=\dfrac{3}{4}(2+6;1+2)\\\\(x_B+6;y_B+2)=\dfrac{3}{4}(8;3)\\\\(x_B+6;y_B+2)=(\dfrac{3}{4}\times 8;\dfrac{3}{4}\times3)\\\\(x_B+6;y_B+2)=(6;\dfrac{9}{4})\\\\\left\{\begin{matrix}x_B+6=6\\y_B+2=\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_B=6-6\\y_B=\dfrac{9}{4}-2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_B=0\\y_B=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow \boxed{B(0;\dfrac{1}{4})}[/tex]
c) Montrons que les vecteurs [tex]\overrightarrow{EF}\ \ et\ \ \overrightarrow{DB}[/tex] sont colinéaires.
[tex]\overrightarrow{EF}(6;-1)\\\\\overrightarrow{DB}(0+\dfrac{9}{2};\dfrac{1}{4}-1)\Longrightarrow\overrightarrow{DB}(\dfrac{9}{2};-\dfrac{3}{4})\\\\[/tex]
Montrons que le déterminant de ces vecteurs est nul.
[tex]6\times(-\dfrac{3}{4})-\dfrac{9}{2}\times(-1)=-\dfrac{18}{4}+\dfrac{9}{2}=-\dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}=\boxed{0}[/tex]
Puisque ce déterminant est nul, les vecteurs [tex]\overrightarrow{EF}\ \ et\ \ \overrightarrow{DB}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les droites (EF) et (FB) sont parallèles
4) Les points E, N et F sont alignés si les vecteurs [tex]\overrightarrow{EN}\ \ et\ \ \overrightarrow{EF}[/tex] sont colinéaires.
[tex]\overrightarrow{EN}(x_N-x_E;y_N-y_E)=(-2+4;y_N-2)=(2;y_N-2)\\\overrightarrow{EF}(6;-1)[/tex]
Le déterminant de ces vecteurs est nul.
[tex]2\times(-1)-6\times(y_N-2)=0\\\\-2-6y_N+12=0\\\\6y_N=10\\\\y_N=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}[/tex]
Par conséquent, l'ordonnée du point N est égale à 5/3.
