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Sarahdobin
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Bonsoir, j'ai vraiment besoin d'aide: alors voilà: ABC est un triangle. I est le milieu de [AB] et M celui de [CI]. La droite (AM) coupe (BC) en N. Le but de l'exercice est de trouver le nombre x tel que (vecteurs)CN=xCB. Pour cela on choisit le repère (A, AB, AC) 1) Quelles sont les coordonnées des points I et M? 2) a. Quelles sont les équations des droites (AM) et (BC) ? b. Trouver alors les coordonnées du point N et celui de Cn et CB. c. Déduisez-en le nombre x. Merci de votre aide

Sagot :

Bonjour Sarahdobin

1) Quelles sont les coordonnées des points I et M ?

Nous avons : A(0;0), B(1;0) et C(0;1)

Donc

[tex]I(x_I;y_I)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})\\\\I(x_I;y_I)=(\dfrac{0+1}{2};\dfrac{0+0}{2})\\\\\boxed{I(x_I;y_I)=(\dfrac{1}{2};0)}[/tex]

[tex]M(x_M;y_M)=(\dfrac{x_C+x_I}{2};\dfrac{y_C+y_I}{2})\\\\M(x_M;y_M)=(\dfrac{0+\frac{1}{2}}{2};\dfrac{1+0}{2})\\\\\boxed{M(x_M;y_M)=(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2})}[/tex]

2) a. Quelles sont les équations des droites (AM) et (BC) ? 

La droite (AM) passe par l'origine du repère.
Donc son équation est de la forme : y = ax.

Calcul du coefficient directeur a : 

[tex]a=\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\dfrac{\frac{1}{2}-0}{\frac{1}{4}-0}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{1}=\dfrac{4}{2}=2[/tex]

D'où, l'équation de la droite (AM) est : y = 2x.

L'équation de la droite (BC) est de la forme : y = ax + b.
Or l'ordonnée à l'origine de la droite est b = 1 puisqu'elle est égale à l'ordonnée du point C.

Donc l'équation de la droite (BC) est de la forme : y = ax + 1.

Calcul du coefficient directeur a : 
[tex]a=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\dfrac{1-0}{0-1}=\dfrac{1}{-1}=-1[/tex]

D'où l'équation de la droite (BC) est : y = -x + 1.

b. Trouver alors les coordonnées du point N et celui de CN et CB.

Le point N est le point d'intersection entre les droites (AM) et (BC).
Les coordonnées du point N se trouvent en résolvant le système composé par les équations des deux droites.

[tex]\left\{\begin{matrix}y=2x\\y=-x+1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=2x\\2x=-x+1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=2x\\2x+x=1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=2x\\3x=1 \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=2x\\\\x=\dfrac{1}{3} \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{2}{3}\\\\x=\dfrac{1}{3} \end{matrix}\right.[/tex]

Par conséquent, les coordonnées de N sont (1/3 ; 2/3).

[tex]\overrightarrow{CN}:(x_N-x_C;y_N-y_C)\\\\\overrightarrow{CN}:(\dfrac{1}{3}-0;\dfrac{2}{3}-1)\\\\\boxed{\overrightarrow{CN}:(\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3})}\\\\\\\overrightarrow{CB}:(x_B-x_C;y_B-y_C)\\\\\overrightarrow{CB}:(1-0;0-1)\\\\\boxed{\overrightarrow{CB}:(1;-1)}[/tex]

c. Déduisez-en le nombre x.

[tex](\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}(1;-1)\\\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}[/tex]

Par conséquent, x = 1/3.
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