Bonjour S2o
[tex]f(x)=\dfrac{4x-1}{2x+6}[/tex]
1) 2x + 6 ≠ 0 ==> x ≠ -3
L'ensemble de définition de f est R\{-3}.
2) Intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées.
Nous devons remplacer x par 0 dans l'expression de f(x).
[tex]f(0)=\dfrac{4\times0-1}{2\times0+6}=\dfrac{-1}{6}[/tex]
Par conséquent, la courbe représentative de la fonction f coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; -1/6).
Intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
Nous devons résoudre l'équation f(x) = 0
[tex]\dfrac{4x-1}{2x+6}=0\\\\4x-1=0\\\\4x=1\\\\x=\dfrac{1}{4}[/tex]
Par conséquent, la courbe représentative de la fonction f coupe l'axe des abscisses au point (1/4 ; 0).
3) Point de la courbe dont l'ordonnée est 5.
Nous devons résoudre l'équation f(x) = 5
[tex]\dfrac{4x-1}{2x+6}=5\\\\4x-1=5(2x+6)\\4x-1=10x+30\\4x-10x=30+1\\-6x=31\\\\x=\dfrac{-31}{6}
[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point de la courbe représentative de la fonction f d'ordonnée 5 est (-31/6 ; 5).
4) Antécédent éventuel de 2 par f.
Nous devons résoudre l'équation f(x) = 2
[tex]\dfrac{4x-1}{2x+6}=2\\\\4x-1=2(2x+6)\\4x-1=4x+12\\4x-4x=12+1\\0x=13\\\\Impossible[/tex]
D'où 2 n'a pas d'antécédent par la fonction f.
Par conséquent, la courbe représentative de la fonction f ne possède pas de point dont l'ordonnée est 2.
5) Graphique (voir pièce jointe)
Tableau de variations de f :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-3&&+\infty \\ f(x)&2&\nearrow&+\infty||-\infty&\nearrow&2\\ \end{array}[/tex]
6) Tableau de signes de f(x)
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-3&&\dfrac{1}{4}=0,25&&+\infty \\ f(x)&&+&||&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
7) Encadrement de f(x) si x ∈ [1 ; 2].
[tex]1\le x\le2\\\\2\le 2x\le4\\\\2+6\le 2x+6\le4+6\\\\8\le 2x+6\le10\\\\\dfrac{1}{10}\le \dfrac{1}{2x+6}\le\dfrac{1}{8}\\\\\\\dfrac{-13}{8}\le \dfrac{-13}{2x+6}\le\dfrac{-13}{10}[/tex]
[tex]\\\\\\2-\dfrac{13}{8}\le 2-\dfrac{13}{2x+6}\le2-\dfrac{13}{10}\\\\\\\dfrac{16}{8}-\dfrac{13}{8}\le 2-\dfrac{13}{2x+6}\le\dfrac{20}{10}-\dfrac{13}{10}\\\\\\\dfrac{3}{8}\le 2-\dfrac{13}{2x+6}\le\dfrac{7}{10}\\\\\\\boxed{\dfrac{3}{8}\le f(x)\le\dfrac{7}{10}}[/tex]
Par conséquent,
si x ∈ [1 ; 2], alors [tex]\dfrac{3}{8}\le f(x)\le\dfrac{7}{10}[/tex]
