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Muslima
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Bonjour qui peut m'aidez svp? 
On considère un cercle de centre O, et 3 points A,B et C sur ce cercle formant un triangle quelconque. 
On appelle A' le milieu de [BC],B' le milieu de [CA],C' le milieu de [AB]. 

Partie A 
1)Faire une figure 
2)Que représentent pour ABC le point O ainsi que les droites (OA'),(OB'), et (OC')?? 
3)Montrer que pour tout point M, (1) VectMB +VectMC=2VectMA' Et (2) VectMA +VectMB=2VectMC' 

Partie B 

On considère le centre de gravité G de ABC et le point P tel que:VectAP=2/3VectAA' 

1)Montrer que : VectAB +VectAC=2VectAA' puis que VectPA+VectPB+VectPC=Vect0 
5)Montrer que vectPA+VectPB=2VectPC' puis que VectPC=-2VectPC ' 
6)En deduire que P et G sont confondus, puis que G vérifie: 
Vect Ga+VectGB +VectGC=Vect0 et 
3 Vect OG=VectOA+VectOB+VectOC 


Compléter la figure

 

J'ai fait la Partie A je bloque a la Partie B

 

Sagot :

Mhaquila

Partie A :

--------------

 

1)   Figure…

 

 

2)   Le point O étant le centre du cercle circonscrit au triangle ABC représente le point où concourent les trois médiatrices des côtés du triangle ABC, c'est à dire le point d'intersection des droites (OA'),(OB'), et (OC')

 

 

3)   Puisque A' est le milieu de [BC], on a :       [tex]\overrightarrow{A'B} = \overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{-A'C}[/tex]

 

             [tex]\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{A'C}[/tex]

 

                                                  [tex]= 2 \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C}[/tex]

 

                                                  [tex]= 2 \overrightarrow{MA'} - \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{A'C}[/tex]

 

                                                  [tex]= 2 \overrightarrow{MA'}[/tex]

  

          Par le même raisonnement, on prouve que :

 

             [tex]\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MC'}[/tex]

 

 

 

Partie B :

-------------

 

1)          [tex]\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C}[/tex]

 

                                                  [tex]= 2 \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{A'C}[/tex]

 

                                                  [tex]= 2 \overrightarrow{AA'}[/tex]

 

 

                Et :

 

            [tex]\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AC}[/tex]   

 

                                                  [tex]= 3 \overrightarrow{PA} + 2 \overrightarrow{AA'}[/tex]

 

                                                  [tex]= 3 × \frac{2}{3} \overrightarrow{A'A} + 2 \overrightarrow{AA'}[/tex]

 

                                                  [tex]= 2 \overrightarrow{A'A} + 2 \overrightarrow{AA'}[/tex]

 

                                                  [tex]\vec{0}[/tex]

 

 

 

5)        [tex]\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PC'} + \overrightarrow{C'A} + \overrightarrow{PC'} + \overrightarrow{C'B}[/tex]

 

                                                  [tex]= 2 \overrightarrow{PC'} + \overrightarrow{C'A} + \overrightarrow{C'B}[/tex]

 

                                                  [tex]= 2 \overrightarrow{PC'} + \overrightarrow{C'A} - \overrightarrow{C'A}[/tex]

 

                                                  [tex]= 2 \overrightarrow{PC'}[/tex]

 

        

 

          [tex]\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} - \overrightarrow{PA} - \overrightarrow{PB}[/tex]

 

                                                  [tex]= \vec{0} - 2 \overrightarrow{PC'}[/tex]

 

                                                  [tex]= -2 \overrightarrow{PC'}[/tex]

 

 

6)   Puisque [tex]\overrightarrow{PC} = -2 \overrightarrow{PC'}[/tex], on a : [tex]\overrightarrow{CP} = 2/3 \overrightarrow{CC'}[/tex]. Or le centre de gravité se trouve par définition à cet endroit. Donc P et G sont confondus.

 

      Et comme [tex]\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = = \vec{0}[/tex] et que P et G sont le même point, [tex]\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = = \vec{0}[/tex]

 

 

Devant m'absenter, je vous laisse faire le dernier. Le principe : OA  +  OB +  OC =  3 OG +GA + GB + GC = 3 OG + 0 = 3OG 

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