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Sagot :
Bonjour
1) f'(x)=[5(x²+x+1)-(5x-3)(2x+1)]/(x²+x+1)²
f'(x)=(5x²+5x+5-(10x²+5x-6x-3))/(x²+x+1)²
f'(x)=(5x²+5x+5-10x²+x+3)/(x²+x+1)²
f'(x)=(-5x²+6x+8)/(x²+x+1)²
2) Le signe de f'(x) dépend de -5x²+6x+8
On cherche les racines de ce polynome
Δ=6²+4*5*8=36+160=196
√196=14
Les racines sont x1=(-6+14)/(-10)=-4/5 et x2=(-6-14)/(-10)=2
Donc on a le tableau de variation suivant :
x -∞ -4/5 2 +∞
f'(x) - + -
f(x) décroissant croissant décroissant
3) T(x)=f'(-3/2)(x+3/2)+f(-3/2)
f'(-3/2)=(-5*(-3/2)²+6(-3/2)+8)/((-3/2)²+(-3/2)+1)²
f'(-3/2)=(-45/4-9+8)/(9/4-3/2+1)²
f'(-3/2)=(-49/4)/(7/4)²=(-49/4)/(49/16)=-4
f(-3/2)=(5*(-3/2)-3)/((-3/2)²+(-3/2)+1)
f(-3/2)=(-15/4-3)/(7/4)=(-27/4)/(7/4)=-27/7
Donc T(x)=-4(x+3/2)-27/7=-4x-6-27/7=-4x-69/7
1) f'(x)=[5(x²+x+1)-(5x-3)(2x+1)]/(x²+x+1)²
f'(x)=(5x²+5x+5-(10x²+5x-6x-3))/(x²+x+1)²
f'(x)=(5x²+5x+5-10x²+x+3)/(x²+x+1)²
f'(x)=(-5x²+6x+8)/(x²+x+1)²
2) Le signe de f'(x) dépend de -5x²+6x+8
On cherche les racines de ce polynome
Δ=6²+4*5*8=36+160=196
√196=14
Les racines sont x1=(-6+14)/(-10)=-4/5 et x2=(-6-14)/(-10)=2
Donc on a le tableau de variation suivant :
x -∞ -4/5 2 +∞
f'(x) - + -
f(x) décroissant croissant décroissant
3) T(x)=f'(-3/2)(x+3/2)+f(-3/2)
f'(-3/2)=(-5*(-3/2)²+6(-3/2)+8)/((-3/2)²+(-3/2)+1)²
f'(-3/2)=(-45/4-9+8)/(9/4-3/2+1)²
f'(-3/2)=(-49/4)/(7/4)²=(-49/4)/(49/16)=-4
f(-3/2)=(5*(-3/2)-3)/((-3/2)²+(-3/2)+1)
f(-3/2)=(-15/4-3)/(7/4)=(-27/4)/(7/4)=-27/7
Donc T(x)=-4(x+3/2)-27/7=-4x-6-27/7=-4x-69/7
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