Exercice 1:
1.a M est sur la droite d'équation y=2x+3 donc ses coordonnées sont solutions de cette équation. Comme l'abscisse de M est [tex]x[/tex] on a donc [tex]y_M=2x+3[/tex]
1.b Imagine un point K tel que AMK soit un triangle rectangle en K. Tu aurais alors AM²=AK²+MK². Ton point K a deux positions possibles, mais le résultat est équivalent. supposons qu'il soit "en bas à droite" sur ton dessin, alors la distance AK est la différence entre l'ordonnée de A et l'ordonnée de M donc [tex]AK^2=(y_A-y_M)^2[/tex] et la distance MK est la différence entre l'abscisse de A et l'abscisse de M donc [tex]MK^2=(x_A-x)^2[/tex]
si le K était "en haut à gauche" sur ton dessin cela aurait juste interverti les deux distances, donc ça ne change rien.
Bref, tu obtiens:[tex]AM^2=(y_A-y_M)^2+(x_A-x)^2[/tex]
En remplaçant par les valeurs connues, ça donne:
[tex]AM^2=(1-(2x+3))^2+(1-x)^2[/tex]
Rest à développer tout ça: [tex]AM^2=(-2x-2)^2+1-2x+x^2=4x^2+8x+4+1-2x+x^2[/tex]
[tex]AM^2=5x^2+6x+5[/tex]
or f(x)=AM²
1.c: La fonction f est décroissant puis croissante car son coefficient directeur a=5 est positif. Elle atteint son minimum (extremum) en [tex]x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{10}=-0.6[/tex]
1.d la distance AM² est minimale lorsque la fonction f atteint son minimum, donc en [tex]x_0=-0.6[/tex]. à ce moment, l'ordonnée de M est [tex]y_M=2x_0+3=-1.2+3=1.8[/tex]
La suite n'apparaît pas sur ta photo.
Exercice 2:
à la première ligne, Renée a fait la soustraction des deux membres. Il lui reste donc à résoudre [tex]x^3+x^2-2x-2\ \textgreater \ 0[/tex]
Aux lignes 2 et 4 elle factorise les deux membres, je ne sais pas bien pourquoi.
à la ligne 3 elle factorise l'expression qui nous intéresse. L'inéquation devient alors:
[tex]x \times (x^2-2)\ \textgreater \ 0[/tex]
Pour que le produit soit positif, il faut que les deux facteurs soient positifs ou bien que les deux facteurs soient négatifs.
cas 1: les deux facteurs sont positif:
x>0 et x²-2>0 donc x>0 et x²>2
x²>2 admet deux solutions: [tex]x\ \textgreater \ \sqrt{2} [/tex] ou [tex]x\ \textless \ -\sqrt{2}[/tex]. Cependant la seconde est négative, or on a x>0.
Donc les deux facteurs sont positifs pour tout [tex]x\ \textgreater \ \sqrt{2} [/tex]
cas 2: les deux facteurs sont négatifs:
x<0 et x²-2<0 donc x<0 et x²<2
x²<2 admet deux solutions:[tex]x\ \textless \ \sqrt{2}[/tex] et [tex]x\ \textgreater \ -\sqrt{2}[/tex] (on peut aussi noter [tex]-\sqrt{2}\ \textless \ x\ \textless \ \sqrt{2}[/tex] )
Comme x doit être négatif, l'ensemble des x pour lesquels les deux facteurs sont négatif est [tex]]-\sqrt{2} ; 0[[/tex] (intervalle ouvert car on veut que ce soit strictement négatif)
L'ensemble des solutions de l'équation est donc [tex]]-\sqrt{2} ; 0[[/tex]U[tex]]\sqrt{2} ; +\infty[[/tex]
