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Guillaumehr
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Bonjour à tous, j'ai reçu un exercice qui met en relation les variations de (Un) et de f que je dois résoudre, merci d'avance pour votre aide !

On considère la suite : (Un) définie par : Un = [tex] \frac{1}{n+1} [/tex] pour n ∈ N. On cherche à démontrer que la suite (Un) est décroissante.

Pour déterminer le sens de variation de cette suite, nous allons étudier le signe de Un+1 - Un.

a. Déterminer l'expression de Un+1
b. Exprimer Un+1 - Un en fonction de n.
c. Construire tableau de signes de Un+1 - Un.
d. En déduire le sens de variations de Un.

Je définis une fonction f telle que Un = f(n).
Ainsi on considère la fonction associée f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = [tex] \frac{1}{n+1} \frac{1}{x+1} [/tex]
Etudions les variations de f définie sur [0 ; +∞[ :

A. Déterminer l'expression de f'.
B. Etudier le signe de f'.
C. En déduire le sens de variation de f.

Dernière question : quel lien peut-on faire entre les variations de (Un) et de f ?

Sagot :

Anylor
bonjour
partie 1
a)
u(n+1) = 1 / ((n+1) +1)
= 1 /(n+2)

b)

=1(n+1) -1(n+2) / (n+2)(n+1)
= -1 /( n+2)(n+1)

c)
on étudie le signe de u(n+1) - un
1 /(n+2) - 1 /(n+1)
sur l'intervalle [0; +∞]
(n+1)(n+2)  est positif
donc    -1/( n+2)(n+1)  est négatif

tu peux faire un tableau de signes

la suite est décroissante

partie 2)
A)
f(x) = 1/(x+1)

B)
f'(x) = -1/(x+1)²           df =[0,+∞[
signe de f'(x) négatif
car (x+1)² tjs positif et - 1 négatif

c)
tableau de variations
x          0                        +∞
f'(x)                   -
f(x)       1            \           0

f est décroissante sur [0;+∞[
f(0) = 1
lim quand x tend vers+∞ = 0
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