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Choupsykrys
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J'ai vraiment besoin d'aide c'est urgent merci :
Soit n∈N On admet que ∑p² (pour p=0) = (n*(n+1)(2n+1))/6

1°) Vérifier cette formule pour n=4
2°) On pose A= ∑(2p+1)² (avec n-1 en haut et p=0 en bas ) et B= ∑(2p)² (avec n en haut et p=1 en bas) . Montrer que A+B= ((n*(2n+1)(4n+1))/3
3°) Montrer que : B= (2n*(n+1)(2n+1))/3
4°) En déduire la valeur de A .

merci beaucoup, c'est urgent....!

Sagot :

Bonsoir

On sait que:

1) [tex]\sum_{p=1}^{n}p=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

2) [tex]X=\sum_{p=1}^{n}p^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]


[tex]\Large{B=\sum_{p=1}^{n}(2p)^2=4\sum_{p=1}^{n}p^2=4X=\frac{4n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}}[/tex]


On pose p=q-1. si p=0==>q=1, si p=n-1==>q=n

[tex]\Large{A=\sum_{p=0}^{n-1}(2p+1)^2=\sum_{q=1}^{n}(2q-1)^2}[/tex]
[tex]\Large{=4X-4\sum_{q=1}^{n}q+\sum_{q=1}^{n}1\\=4X-4\frac{n(1+n)}{2}+n\\=4X-2n-2n^2+n=4X-n(2n+1)}[/tex]

En remplaçant ici X par sa valeur on peut trouver

[tex]\LARGE{A=\frac{n(4n^2-1)}{3}}[/tex]

















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