Bonjour Wendy14
1) Les triangle ABA' est rectangle en B car il est inscrit dans un cercle et le côté [AA'] est un diamètre.
D'où les droites (A'B) et (AB) sont perpendiculaires, soit les droites (A'B) et (MB) sont perpendiculaires.
On en déduit que [tex]\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{A'B}=0.[/tex]
Ainsi,
[tex]\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}.(\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{A'B})\\\\\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{A'B}\\\\\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MA'}+0\\\\\boxed{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MA'}}[/tex]
[tex]2)\ \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MA'}\\\\\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}).(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA'})\\\\\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OA'}[/tex]
[tex]\\\\\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MO^2+\overrightarrow{MO}.(\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OA})-\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OA}\\\\\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MO^2+\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{0}-OA^2\\\\\boxed{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MO^2-R^2}[/tex]
3) Le triangle MIO est rectangle en I car (MI) est tangente au cercle.
Par Pythagore dans ce triangle rectangle,
MO² = MI² + IO²
MO² = MI² + R²
MO² - R² = MI².
D'où
[tex]\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MO^2-R^2\Longrightarrow \boxed{\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2}[/tex]
4) [tex]\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}[/tex] ne dépendant donc pas des points A et B puisque [tex]\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2[/tex] et que le point I est indépendant de A et de B, et par conséquent de la droite (Δ).
