Bonjour SoufianBOUAZAMA
1) [tex]\boxed{\alpha=t+h}[/tex]
En effet, si l'objet est en état de fonctionnement au moins jusqu'à l'instant t et jusqu'à l'instant t+h nous pouvons affirmer que l'objet est en état de fonctionnement au moins jusqu'à l'instant t+h.
Donc (T ≥ t+h) ∩ (T ≥ t) peut s'écrire (T ≥ t+h).
[tex]2)\ P_{(T\ge t)}(T\ge t+h)=\dfrac{P((T\ge t)\cap(T\ge t+h))}{P(T\ge t)}\\\\Or\ P_{(T\ge t)}(T\ge t+h)=P(T\ge h)\ \ \\\\et\ \ (T\ge t)\cap(T\ge t+h)=(T\ge t+h)\\\\\\Donc\ \ P(T\ge h)=\dfrac{P(T\ge t+h)}{P(T\ge t)}\\\\\\\boxed{P(T\ge t+h)=P(T\ge t)\times P(T\ge h)}[/tex]
3) a) L'énoncé indique que (T ≥ 0) est l'événement certain ==> P(T ≥ 0) = 1.
Or G(0) = P(T ≥ 0)
Par conséquent, G(0) = 1.
D'où
[tex]\varphi(0)=G(0)\times e^0\Longrightarrow \varphi(0)=1\times1\\\\\boxed{\varphi(0)=1}[/tex]
[tex]b)\ \varphi'(x)=[G(x)\times e^{-G'(0)x}]'\\\\\varphi'(x)=G'(x)\times e^{-G'(0)x}+G(x)\times [e^{-G'(0)x}]'\\\\\varphi'(x)=G'(x)\times e^{-G'(0)x}+G(x)\times [-G'(0)]\times e^{-G'(0)x}\\\\\varphi'(x)=e^{-G'(0)x}[G'(x)+G(x)\times [-G'(0)]]\\\\\boxed{\varphi'(x)=e^{-G'(0)x}[G'(x)-G'(0)G(x)]}[/tex]
c) En utilisant la question 2, nous savons que [tex]G(x+h)=G(x)\times G(h)[/tex]
D'où
[tex]G'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{G(x+h)-G(x)}{h}\\\\\\G'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{G(x)\times G(h)-G(x)}{h}\\\\\\G'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{G(x)\times [G(h)-1]}{h}\\\\\\G'(x)=G(x)\times \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{[G(h)-1]}{h}\\\\\\G'(x)=G(x)\times \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{[G(h)-G(0)]}{h}\\\\\\G'(x)=G(x)\times G'(0)\\\\\boxed{G'(x)=G'(0)G(x)}[/tex]
d) Par la question 3 b), nous savons que [tex]\varphi'(x)=e^{-G'(0)x}[G'(x)-G'(0)G(x)][/tex]
Or G'(x)=G(0)G'(x)
Donc
[tex]\varphi'(x)=e^{-G'(0)x}[G'(0)G(x)-G'(0)G(x)]\\\\\varphi'(x)=e^{-G'(0)x}\times0\\\\\varphi'(x)=0\\\\\Longrightarrow \varphi(x)=constante\\\\Or\ \varphi(0)=1\\\\Donc\ \boxed{\varphi(x)=1}[/tex]
Mais nous savons par l'énoncé que [tex]\boxed{\varphi(x)=G(x)\times e^{-G'(0)x}}[/tex]
D'où, nous en déduisons que
[tex]G(x)\times e^{-G'(0)x}=1\\\\\\G(x)=\dfrac{1}{e^{-G'(0)x}}\\\\\\\boxed{G(x)=e^{G'(0)x}}[/tex]
[tex]4)\ F'(t)=[1-e^{-\beta t}]'\\\\F'(t)=1'-[e^{-\beta t}]'\\\\F'(t)=0-(-\beta)\times e^{-\beta t}\\\\\boxed{F'(t)=\beta\times e^{-\beta t}}[/tex]
