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Sagot :
Bonjour POKOPOPS
Exercice 1
[tex]a)\ \overrightarrow{BA}:(x_A-x_B;y_A-y_B)=(1-4;-1-2)=(-3;-3)(-3;-3)\\\\\overrightarrow{CA}:(x_A-x_C;y_A-y_C)=(1+2;-1-5)=(3;-6)[/tex]
D'où
[tex]\overrightarrow{CD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}\\\\(x_D-x_C;y_D-y_C)=\dfrac{1}{3}(-3;-3)+\dfrac{2}{3}(3;-6)\\\\(x_D+2;y_D-5)=(-1;-1)+(2;-4)\\\\(x_D+2;y_D-5)=(1;-5)\\\\\left\{\begin{matrix}x_D+2=1\\y_D-5=-5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_D=-1\\y_D=0 \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point D sont (-1;0).
[tex]b)\ \overrightarrow{AD}:(x_D-x_A;y_D-y_A)=(-1-1;0+1)=(-2;1)\\\\ \overrightarrow{BC}:(x_C-x_B;y_C-y_B)=(-2-4;5-2)=(-6;3)\\\\Or\ (-6;3)=3(-2;1)\\\\Donc\ \ \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{AD}[/tex]
D'où les vecteurs [tex]\overrightarrow{AD}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Exercice 2
[tex]1)\ \overrightarrow{AC}:(x_C-x_A;y_C-y_A)=(\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2};\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2})=(6;3)\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{AC}:(6;3)\\\\\\\overrightarrow{BC}:(x_C-x_B;y_C-y_B)=(\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2})=(2;1)\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{BC}:(2;1)[/tex]
[tex]Or\ (6;3)=3(2;1)\\\\Donc\ \ \overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{BC}[/tex]
D'où les vecteurs [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les points A, B et C sont alignés.
2.a) Equation de la droite (AB).
Soit M(x ; y) un point quelconque de la droite (AB)
Alors les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BM}[/tex] sont colinéaires.
Or
[tex]\overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A)=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{2};\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2})=(4;2)\\\\\Longrightarrow \overrightarrow{AB}:(4;2)\\\\\\\overrightarrow{BM}:(x_M-x_B;y_M-y_B)=(x-\dfrac{1}{2};y-\dfrac{3}{2})\\\\\Longrightarrow \overrightarrow{BM}:(x-\dfrac{1}{2};y-\dfrac{3}{2})[/tex]
Exprimons la colinéarité des vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BM}[/tex] em montrant que leur déterminant est égal à 0.
[tex]4(y-\dfrac{3}{2})-2(x-\dfrac{1}{2})=0\\\\4y-6-2x+1=0\\\\4y-2x+1=0[/tex]
Par conséquent, une équation de la droite (AB) est -2x + 4y + 1 = 0.
b) Dans l'équation de la droite (AB), remplaçons x et y respectivement par 5/2 et 5/2 et montrons que l'équation est ainsi vérifiée.
En effet,
[tex]-2\times\dfrac{5}{2}+4\times\dfrac{5}{2}-5=-5+10-5\boxed{=0}[/tex]
Les point C appartient donc bien à la droite (AB).
Par conséquent, les points A, B et C sont alignés.
Exercice 3
1. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme car [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex]
En effet
[tex]\overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A)=(6+2;0+1)=(8;1)\\\\ \overrightarrow{DC}:(x_C-x_D;y_C-y_D)=(8-0;5-4)=(8,1)\\\\Donc\ \ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex]
2.a) Coordonnées du point M.
Par Chasles, nous avons :
[tex]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\\\\\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\\\\4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}[/tex]
[tex]4\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\\\\4(x_M;y_M)=(-2;-1)+(6;0)+(8;5)+(0;4)\\\\4(x_M;y_M)=(12;8)\\\\\Longrightarrow \boxed{M:(x_M;y_M)=(3;2)}[/tex]
b) Le point M est le milieu des diagonales [AC] et [BD] du parallélogramme.
En effet
[tex](\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})=(\dfrac{-2+8}{2};\dfrac{-1+5}{2})=(3;2)=(x_M;y_M)\\\\et\\\\(\dfrac{x_B+x_D}{2};\dfrac{y_B+y_D}{2})=(\dfrac{6+0}{2};\dfrac{0+4}{2})=(3;2)=(x_M;y_M)[/tex]
Par conséquent, le point M est le centre du parallélogramme ABCD.
Questions facultatives
1) M est le centre du parallélogramme
D'où
M est le milieu de [AC]
D'où
[tex]\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}\\\\\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}[/tex]
M est le milieu de [BD]D'où
[tex]\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MD}\\\\\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}[/tex]
D'où
vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}+vec{MD}
=(vec{MA}+vec{MC})+(vec{MB}+vec{MD})
=vec0}+vec{0}
=vec{0}
[tex]\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}}[/tex]
2) Démontre que M est le centre du parallélogramme.
vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}+vec{MD}=vec{0}
vec{MA}+(vec{MA}+vec{AB})+vec{MC}+(vec{MC}+vec{CD})=vec{0}
2vec{MA}+2vec{MC}+(vec{AB}+vec{CD})=vec{0}
2vec{MA}+2vec{MC}+vec{0}=vec{0}
2vec{MA}+2vec{MC}=vec{0}
vec{MA}+vec{MC}=vec{0}
D'où, M est le milieu de la diagonale [AC].
Par une démarche analogue, nous montrerions que M est le milieu de la diagonale [BD].
Par conséquent, M est le centre du parallélogramme ABCD.
Exercice 1
[tex]a)\ \overrightarrow{BA}:(x_A-x_B;y_A-y_B)=(1-4;-1-2)=(-3;-3)(-3;-3)\\\\\overrightarrow{CA}:(x_A-x_C;y_A-y_C)=(1+2;-1-5)=(3;-6)[/tex]
D'où
[tex]\overrightarrow{CD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}\\\\(x_D-x_C;y_D-y_C)=\dfrac{1}{3}(-3;-3)+\dfrac{2}{3}(3;-6)\\\\(x_D+2;y_D-5)=(-1;-1)+(2;-4)\\\\(x_D+2;y_D-5)=(1;-5)\\\\\left\{\begin{matrix}x_D+2=1\\y_D-5=-5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_D=-1\\y_D=0 \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point D sont (-1;0).
[tex]b)\ \overrightarrow{AD}:(x_D-x_A;y_D-y_A)=(-1-1;0+1)=(-2;1)\\\\ \overrightarrow{BC}:(x_C-x_B;y_C-y_B)=(-2-4;5-2)=(-6;3)\\\\Or\ (-6;3)=3(-2;1)\\\\Donc\ \ \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{AD}[/tex]
D'où les vecteurs [tex]\overrightarrow{AD}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Exercice 2
[tex]1)\ \overrightarrow{AC}:(x_C-x_A;y_C-y_A)=(\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{2};\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2})=(6;3)\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{AC}:(6;3)\\\\\\\overrightarrow{BC}:(x_C-x_B;y_C-y_B)=(\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2})=(2;1)\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{BC}:(2;1)[/tex]
[tex]Or\ (6;3)=3(2;1)\\\\Donc\ \ \overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{BC}[/tex]
D'où les vecteurs [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les points A, B et C sont alignés.
2.a) Equation de la droite (AB).
Soit M(x ; y) un point quelconque de la droite (AB)
Alors les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BM}[/tex] sont colinéaires.
Or
[tex]\overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A)=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{2};\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2})=(4;2)\\\\\Longrightarrow \overrightarrow{AB}:(4;2)\\\\\\\overrightarrow{BM}:(x_M-x_B;y_M-y_B)=(x-\dfrac{1}{2};y-\dfrac{3}{2})\\\\\Longrightarrow \overrightarrow{BM}:(x-\dfrac{1}{2};y-\dfrac{3}{2})[/tex]
Exprimons la colinéarité des vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BM}[/tex] em montrant que leur déterminant est égal à 0.
[tex]4(y-\dfrac{3}{2})-2(x-\dfrac{1}{2})=0\\\\4y-6-2x+1=0\\\\4y-2x+1=0[/tex]
Par conséquent, une équation de la droite (AB) est -2x + 4y + 1 = 0.
b) Dans l'équation de la droite (AB), remplaçons x et y respectivement par 5/2 et 5/2 et montrons que l'équation est ainsi vérifiée.
En effet,
[tex]-2\times\dfrac{5}{2}+4\times\dfrac{5}{2}-5=-5+10-5\boxed{=0}[/tex]
Les point C appartient donc bien à la droite (AB).
Par conséquent, les points A, B et C sont alignés.
Exercice 3
1. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme car [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex]
En effet
[tex]\overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A)=(6+2;0+1)=(8;1)\\\\ \overrightarrow{DC}:(x_C-x_D;y_C-y_D)=(8-0;5-4)=(8,1)\\\\Donc\ \ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex]
2.a) Coordonnées du point M.
Par Chasles, nous avons :
[tex]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\\\\\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\\\\4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}[/tex]
[tex]4\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\\\\4(x_M;y_M)=(-2;-1)+(6;0)+(8;5)+(0;4)\\\\4(x_M;y_M)=(12;8)\\\\\Longrightarrow \boxed{M:(x_M;y_M)=(3;2)}[/tex]
b) Le point M est le milieu des diagonales [AC] et [BD] du parallélogramme.
En effet
[tex](\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})=(\dfrac{-2+8}{2};\dfrac{-1+5}{2})=(3;2)=(x_M;y_M)\\\\et\\\\(\dfrac{x_B+x_D}{2};\dfrac{y_B+y_D}{2})=(\dfrac{6+0}{2};\dfrac{0+4}{2})=(3;2)=(x_M;y_M)[/tex]
Par conséquent, le point M est le centre du parallélogramme ABCD.
Questions facultatives
1) M est le centre du parallélogramme
D'où
M est le milieu de [AC]
D'où
[tex]\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}\\\\\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}[/tex]
M est le milieu de [BD]D'où
[tex]\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MD}\\\\\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}[/tex]
D'où
vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}+vec{MD}
=(vec{MA}+vec{MC})+(vec{MB}+vec{MD})
=vec0}+vec{0}
=vec{0}
[tex]\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}}[/tex]
2) Démontre que M est le centre du parallélogramme.
vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}+vec{MD}=vec{0}
vec{MA}+(vec{MA}+vec{AB})+vec{MC}+(vec{MC}+vec{CD})=vec{0}
2vec{MA}+2vec{MC}+(vec{AB}+vec{CD})=vec{0}
2vec{MA}+2vec{MC}+vec{0}=vec{0}
2vec{MA}+2vec{MC}=vec{0}
vec{MA}+vec{MC}=vec{0}
D'où, M est le milieu de la diagonale [AC].
Par une démarche analogue, nous montrerions que M est le milieu de la diagonale [BD].
Par conséquent, M est le centre du parallélogramme ABCD.
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