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Bonjour ! 12 points ! A rendre pour vendredi, je l'ai posté plusieurs fois aucune réponse jusqu'à maintenant !
Je suis en TS, une idée ? J'ai déjà un brouillon, j'ai essayer d'appliquer l´inéquation avec le tableau ainsi que la dérivé, mais je ne vais pas plus loin, je serais donc très content si quelqu'un pourra résoudre l'exercice.

Merci !

PS: Pour ceux qui n'arrivent pas à lire, voici l'énoncé:

Bonjour 12 Points A Rendre Pour Vendredi Je Lai Posté Plusieurs Fois Aucune Réponse Jusquà Maintenant Je Suis En TS Une Idée Jai Déjà Un Brouillon Jai Essayer D class=

Sagot :

Omnes
Salut,

1) Déterminons le domaine de définition:

On sait qu'une fonction exprimée sous la forme de quotient est définie pour tout x n'annulant pas le dénominateur.

Ainsi déterminons les solutions de l'équation :

x² + x + 1 = 0

Δ = b² - 4ac = 1 - 4 = -3 il n'y a donc pas de racines réelles.

La fonction est donc définie sur l'ensemble des réels.

2)

Déterminons les extremas de la fonction f.
Pour cela, nous dérivons f (je ne donne pas les calculs intermédiaires pour ne pas que cela me prenne trop de temps, mais uniquement le résultat, je t'invite à le retrouver).

f'(x) = (4x² + 18x + 5) / (x² + x + 1)²
Le dénominateur étant un carré, il est donc toujours positif.
Etudions les variations de f en étudiant les changements de signe de f'(x) qui varie selon son numérateur.
Déterminons donc le signe de 4x² + 18x +5 sur |R.

Déterminons les racines :

Δ = b² - 4ac = 18² - 4*5*4 = 244

Ainsi x1 = (-b - √Δ)/2a = (-9-√61)/4
x2 = (-9+√61)/4

Dressons le tableau de signe de f'(x) :

x      | -inf          x1                x2            +inf
--------------------------------------------------------------
f'(x)  |       +       0         -           0     +

On détermine donc les variations de f :
f est croissante sur -inf;x1, décroissante sur x1;x2 et croissante sur x2;+inf
Ainsi f admet un maximum en x1 et un minimum en x2
déterminons les valeurs de f(x1) et f(x2)

f(x1) ≈4.54 < 5
f(x2)≈-5.87>-6

Donc -6 ≤ f(x) ≤ 5

Bonne soirée !


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