Salut,
1) Déterminons le domaine de définition:
On sait qu'une fonction exprimée sous la forme de quotient est définie pour tout x n'annulant pas le dénominateur.
Ainsi déterminons les solutions de l'équation :
x² + x + 1 = 0
Δ = b² - 4ac = 1 - 4 = -3 il n'y a donc pas de racines réelles.
La fonction est donc définie sur l'ensemble des réels.
2)
Déterminons les extremas de la fonction f.
Pour cela, nous dérivons f (je ne donne pas les calculs intermédiaires pour ne pas que cela me prenne trop de temps, mais uniquement le résultat, je t'invite à le retrouver).
f'(x) = (4x² + 18x + 5) / (x² + x + 1)²
Le dénominateur étant un carré, il est donc toujours positif.
Etudions les variations de f en étudiant les changements de signe de f'(x) qui varie selon son numérateur.
Déterminons donc le signe de 4x² + 18x +5 sur |R.
Déterminons les racines :
Δ = b² - 4ac = 18² - 4*5*4 = 244
Ainsi x1 = (-b - √Δ)/2a = (-9-√61)/4
x2 = (-9+√61)/4
Dressons le tableau de signe de f'(x) :
x | -inf x1 x2 +inf
--------------------------------------------------------------
f'(x) | + 0 - 0 +
On détermine donc les variations de f :
f est croissante sur -inf;x1, décroissante sur x1;x2 et croissante sur x2;+inf
Ainsi f admet un maximum en x1 et un minimum en x2
déterminons les valeurs de f(x1) et f(x2)
f(x1) ≈4.54 < 5
f(x2)≈-5.87>-6
Donc -6 ≤ f(x) ≤ 5
Bonne soirée !
