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Sagot :
Bonjour Angecollege
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= -3x²+2x+5
1) Calculer f'(x)
[tex]f'(x)=(-3x^2+2x+5)'\\\\f'(x)=(-3x^2)'+(2x)'+5'\\\\f'(x)=-6x+2+0\\\\\boxed{f'(x)=-6x+2}[/tex]
2) Etudier le signe de f'(x)
f '(x) = 0 ==> -6x+2 = 0
==> -6x = -2
==> x = (-2)/(-6)
==> x = 1/3
f '(x) < 0 ==> -6x+2 < 0
==> -6x < -2
==> x > (-2)/(-6)
==> x > 1/3
f '(x) > 0 ==> -6x+2 > 0
==> -6x > -2
==> x < (-2)/(-6)
==> x < 1/3
Donc
Si x < 1/3, alors f '(x) > 0
Si x = 1/3, alors f '(x) = 0
Si x > 1/3, alors f '(x) < 0.
3) En déduire le sens de variation de f sur R.
Si x ≤ 1/3, alors f est strictement croissante.
Si x ≥ 1/3, alors f est strictement décroissante.
Tableau résumé :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&\dfrac{1}{3}&&+\infty \\&&&&&\\ f'(x)&&+&0&-&\\f(x)&&\nearrow&\dfrac{16}{3}&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
4) Compléter le tableau de variation sur (-10;10) (écrire les calculs des images -10; .. et 10.
[tex]f(x)=-3x^2+2x+5\\\\f(-10)=-3\times(-10)^2+2\times(-10)+5\\f(-10)=-3\times100-20+5\\f(-10)=-300-15\\\\\boxed{f(-10)=-315}\\\\f(10)=-3\times10^2+2\times10+5\\f(10)=-3\times100+20+5\\f(10)=-300+25\\\\\boxed{f(10)=-275}[/tex]
Tableau de variations de f sur [-10 ; 10]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-10&&\dfrac{1}{3}&&10 \\&&&&&\\f(x)&-315&\nearrow&\dfrac{16}{3}&\searrow&-275\\ \end{array}[/tex]
5) Préciser le maximum de f et en quelle valeur il est atteint.
Le maximum de f est égal à 16/3.
Il est atteint pour x = 1/3.
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= -3x²+2x+5
1) Calculer f'(x)
[tex]f'(x)=(-3x^2+2x+5)'\\\\f'(x)=(-3x^2)'+(2x)'+5'\\\\f'(x)=-6x+2+0\\\\\boxed{f'(x)=-6x+2}[/tex]
2) Etudier le signe de f'(x)
f '(x) = 0 ==> -6x+2 = 0
==> -6x = -2
==> x = (-2)/(-6)
==> x = 1/3
f '(x) < 0 ==> -6x+2 < 0
==> -6x < -2
==> x > (-2)/(-6)
==> x > 1/3
f '(x) > 0 ==> -6x+2 > 0
==> -6x > -2
==> x < (-2)/(-6)
==> x < 1/3
Donc
Si x < 1/3, alors f '(x) > 0
Si x = 1/3, alors f '(x) = 0
Si x > 1/3, alors f '(x) < 0.
3) En déduire le sens de variation de f sur R.
Si x ≤ 1/3, alors f est strictement croissante.
Si x ≥ 1/3, alors f est strictement décroissante.
Tableau résumé :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&\dfrac{1}{3}&&+\infty \\&&&&&\\ f'(x)&&+&0&-&\\f(x)&&\nearrow&\dfrac{16}{3}&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
4) Compléter le tableau de variation sur (-10;10) (écrire les calculs des images -10; .. et 10.
[tex]f(x)=-3x^2+2x+5\\\\f(-10)=-3\times(-10)^2+2\times(-10)+5\\f(-10)=-3\times100-20+5\\f(-10)=-300-15\\\\\boxed{f(-10)=-315}\\\\f(10)=-3\times10^2+2\times10+5\\f(10)=-3\times100+20+5\\f(10)=-300+25\\\\\boxed{f(10)=-275}[/tex]
Tableau de variations de f sur [-10 ; 10]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-10&&\dfrac{1}{3}&&10 \\&&&&&\\f(x)&-315&\nearrow&\dfrac{16}{3}&\searrow&-275\\ \end{array}[/tex]
5) Préciser le maximum de f et en quelle valeur il est atteint.
Le maximum de f est égal à 16/3.
Il est atteint pour x = 1/3.
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