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Julia1608
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SOS

Bonjour , j'ai un exo pour vendredi si vs pouvez m'expliquer parce que je suis perdu ! je ne sais plus quoi faire !, voila : On pose φ=L/l a) Montrer que φ est solution de l'equation : x² -
x - 1 =0

b) Montrer que pour tout reel x on a : x² - x - 1 = (x-1/2)² - 5/4

merci d'avance

Sagot :

Bonjour Julia1608 

a) Nous savons que [tex]\dfrac{L}{l}=\dfrac{l}{L-l}[/tex]

Produit en croix.

[tex]L\times(L-l)=l\times l\\\\L^2-Ll=l^2\\\\L^2-Ll-l^2=0\\\\\dfrac{L^2-Ll-l^2}{l^2}=\dfrac{0}{l^2}\\\\\dfrac{L^2}{l^2}-\dfrac{Ll}{l^2}-\dfrac{l^2}{l^2}=\dfrac{0}{l^2}\\\\(\dfrac{L}{l})^2-\dfrac{L}{l}-1=0[/tex]

Posons [tex]\varphi=\dfrac{L}{l}[/tex]

Alors l'égalité peut s'écrire : 

[tex]\varphi^2-\varphi-1=0[/tex]

Par conséquent,
[tex]\varphi[/tex]  est solution de l'équation x² - x - 1 = 0.

[tex]b)\ x^2-x-1\\\\=x^2-2\times\dfrac{1}{2}\times x - 1\\\\=x^2-2\times\dfrac{1}{2}\times x +(\dfrac{1}{2})^2-(\dfrac{1}{2})^2- 1\\\\=(x^2-2\times\dfrac{1}{2}\times x +\dfrac{1}{4})-\dfrac{1}{4}- \dfrac{4}{4}\\\\=(x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{5}{4}[/tex]

Par conséquent,

[tex]\boxed{x^2-x-1=(x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{5}{4}}[/tex]
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