Bonsoir,
Faisons une démonstration par récurrence :
Initialisation : on vérifie pour n=0
[tex](1+x)^0\geq 1+0\times x[/tex]
L'inégalité est vraie au rang n=0
Hérédité : on suppose que [tex](1+x)^n\geq 1+nx[/tex], on démontre que [tex](1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x[/tex]
[tex](1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n\\
Or : (1+x)^n\geq 1+nx\\
Donc : (1+x)^{n+1}\geq (1+x)(1+nx)\\
(1+x)^{n+1}\geq1+(n+1)x+nx^2\\
(1+x)^{n+1}\geq1+(n+1)x[/tex]
D'après l'axiome de récurrence, nous avons :
[tex]pour \ tout\ x\ \textgreater \ -1 :\qquad (1+x)^n\geq 1+nx [/tex]
