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Toto364
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On pose

[tex]j = e^{i\frac{2\pi}{3}}[/tex]

a) Montrer que l'on a j²+j+1 = 0

b)Soient A, B, C trois points du plan et a, b et c leurs affixes. Montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si a+bj+cj² = 0.

Merci beaucoup.


Sagot :

Overjay
j² = e(i.4pi/3) = cos(4pi/3) + isin(4pi/3) = -1/2 -iSQRT(3)/2
j = e(i.2pi/3) =  cos(2pi/3) + isin(2pi/3) = -1/2 +iSQRT(3)/2
j²+j+1 = 0 de ce fait

Pour le b) 
Si ABC est un triangle équilatéral si A B C sont à égale distance du centre (disons M, d'affixe m) et d'autre part il a-m b-m c-m ont des arguments avec un écart de 2pi/3
en divisant par (m-a) (non nul, si m-a est nul, a et m confondus, donc m confondus avec b et c aussi) les (m-a) (m-b) et (m-c) valent 1, j, et j²
on obtient : 1/(m-a)*[(m-a)+(m-b)+(m-c)] = 1+j+j² =0
(m-b) = j(m-a)
(m-c) = j²(m-a)
(m-a)+j(m-b)+j²(m-c) = (m-a)(1+j²+j^4)=0

la reciprioque est moins facile, poser un système d'équations...


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