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Bonsoir,savez comment calculez le périmètre d'un cercle inscrit d'un dodécagone régulier de côté 1cm ? et celui du cercle circonscrit du même dodécagone ?

Sagot :

Scoladan
Bonjour, Le dodecagone est composé de 12 triangles isoceles en O, centre du cercle circonscrit. La longueur des côtés égaux deux à deux de chaque triangle est égale au rayon r du cercle (c'est ce que l'on cherche pour calculer le périmètre du cercle). Le troisième côté à pour longueur celle d'un des côtés du dodecagone, ici 1cm. L'angle en O de chaque triangle vaut 360/12 = 30 degrés. Les deux autres angles sont égaux et valent donc (180-30)/2 = 75 degrés. On appeler OAB un des douze triangles. Et H le milieu de [AB]. (OH) est une médiane, une hauteur, et la bissevtrice de l'angle AOH. Dans le triangle OAH, rectangle en H, on a donc : sin (AOH) = AH / AB Donc r = AB = AH / sin(AOH) = 0,5 / sin (15) = 1,93 (arrondi) Périmètre du cercle circonscrit p = 2 x pi x r = 12,14 Pour le cercle inscrit, le rayon est la hauteur des triangles isoceles, soit OH que l'on obtient avec cos(15) = OH / AB ou par le théorème de Pythagore dans le triangle OAH
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