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Fonction polynôme du second degrés
Bonjour déjà merci de prendre de votre temps pour me venir en aide, j'aurai besoin d'aide pour l'exercice suivant :
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=3x²+3x-60.
a) En quel(s) point(s) la représentation graphique de f coupe-t-elle l'axe des ordonnées?
b) En quel(s) point(s) la représentation graphique de f coupe-t-elle l'axe des abscisses?
c) Quels est le minimum de la fonction f sur R?
d) Quel est le signe de f sur R?
Merci d'avance


Sagot :

Bonjour,

1) L'axe des ordonnées a pour équation x=0
f(0) = 3×0²+3×0-60 = -60

f coupe l'axe des ordonnées en ( 0;-60 )

2) L'axe des abscisses a pour équation y=0
Trouver les point où f coupe l'axe des abscisses revient à résoudre f(x)=0

3x²+3x-60 = 0
x² + x - 20 = 0 ( on divise par 3 pour simplifier )

Si tu connais le discriminant :
∆ = b² - 4ac
∆ = 1² - 4×1×(-20)
∆ = 1 + 80
∆ = 81

∆>0 donc l'équation admet 2 solutions réelles :

x1 = - b+√∆/2a = -1+√81/2×1 = -1+9/2 = 8/2 = 4

x2 = -b-√∆/2a = -1-√81/2 = -10/2 = -5

S = { -5;4 }

Si tu ne connais pas le discriminant :
x² + x -20 = 0
( x+1/2 )² - 1/4 -20 = 0 ( factorisation canonique )
( x+1/2 )² - 81/4 = 0 ( forme canonique )
( x+1/2 )² - (9/2)² = 0
( x+1/2+9/2 )( x+1/2-9/2 ) = 0
( x+5 )( x-4 ) = 0
x = -5 ou x=4

S = { -5;4 }

Ils se coupent donc en ( -5;0 ) et ( 4;0 )

3) Le minimum de la fonction est atteint pour x = -b/2a = -3/2×3 = -1/2.
Le minimum est atteint en :
f(-1/2) = 3(-1/2)² +3(-1/2) - 60
f(-1/2) = 3×1/4 - 3/2 - 60
f(-1/2) = 3/4 - 3/2 - 240/4
f(-1/2) = -3/4 -240/4
f(-1/2) = -243/4

4) f est un polynôme du second degré donc f(x) est du signe de a en dehors des racines :

x<-5 → f(x) est positif
x=-5 → f(x) est nul
x ∈ ]-5;4[ → f(x) est négatif
x=4 → f(x) est nul
x>4 → f(x) est positif

a/ pour x=0

b/ pour les deux racines de l'équation si elles existent, x1 et x2

Si delta est positif, deux racines etc...

c/ f(x)= ax²+bx+c     minimum pur pour x=-b/2a   soit x=-3/6 =-1/2

d/ comme a>0 alors f est négatif entre les racines

je pense que tu es capable de calculer les racines?