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Sagot :
Bonjour
1) Ce n'est que du calcul : tu dois trouver 1/2, 2/3 et 3/4
2) Au rang n=1, on a 1-1/(1+1)=1-1/2=1/2=U1
Donc c'est vrai au rang 1
Supposons qu'il existe n tel que Un=1-1/(n+1)
Un+1=Un+1/(n+1)(n+2)=1-1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)
Un+1=1-(n+2)/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)=1-(n+2-1)/(n+1)(n+2)
Un+1=1-(n+1)/(n+1)(n+2)=1-1/(n+2)
Donc ∀n∈IN Un=1-1/(n+1)
3a) a/k+b/(k+1)=[a(k+1)+bk]/k(k+1)=[(a+b)k+a]/k(k+1)
L'égalité doit être vrai ∀k donc on en déduit que a=1 et a+b=0
Donc a=1 et b=-1
On a donc 1/k(k+1)=1/k-1/(k+1)
1/k(k+1) est donc égale à la différence de 2 termes consécutifs
Un=∑(1/k-1/(k+1)) : les termes consécutifs s'annulent 2 à 2 sauf le premier et le dernier donc Un=1-1/(n+1)
1) Ce n'est que du calcul : tu dois trouver 1/2, 2/3 et 3/4
2) Au rang n=1, on a 1-1/(1+1)=1-1/2=1/2=U1
Donc c'est vrai au rang 1
Supposons qu'il existe n tel que Un=1-1/(n+1)
Un+1=Un+1/(n+1)(n+2)=1-1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)
Un+1=1-(n+2)/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)=1-(n+2-1)/(n+1)(n+2)
Un+1=1-(n+1)/(n+1)(n+2)=1-1/(n+2)
Donc ∀n∈IN Un=1-1/(n+1)
3a) a/k+b/(k+1)=[a(k+1)+bk]/k(k+1)=[(a+b)k+a]/k(k+1)
L'égalité doit être vrai ∀k donc on en déduit que a=1 et a+b=0
Donc a=1 et b=-1
On a donc 1/k(k+1)=1/k-1/(k+1)
1/k(k+1) est donc égale à la différence de 2 termes consécutifs
Un=∑(1/k-1/(k+1)) : les termes consécutifs s'annulent 2 à 2 sauf le premier et le dernier donc Un=1-1/(n+1)
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