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LYCÉE MATHÉMATIQUES 10+5 pts


Bonsoir j'ai vraiment besoin d'aide pour un devoir maison je ne comprend pas si tout je n'y arrive pas voici l'énoncé
On définit une suite (Un) en posant pour tout entier naturel n non nul
k=n
Un= ∑ 1/k(k+1)
k=1
1)calculer les 3 premiers termes de cette suite

2) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ,Un=1 - 1/n+1

3)a) déterminer les réels a et b tels que pour tout entier naturel k non nul , 1/k(k+1)=a/k + b/k+1

b) retrouver alors le résultat de la question 2) sans récurrence

Sagot :

Bonjour
1) Ce n'est que du calcul : tu dois trouver 1/2, 2/3 et 3/4

2) Au rang n=1, on a 1-1/(1+1)=1-1/2=1/2=U1
Donc c'est vrai au rang 1
Supposons qu'il existe n tel que Un=1-1/(n+1)
Un+1=Un+1/(n+1)(n+2)=1-1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)
Un+1=1-(n+2)/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)=1-(n+2-1)/(n+1)(n+2)
Un+1=1-(n+1)/(n+1)(n+2)=1-1/(n+2)
Donc ∀n∈IN Un=1-1/(n+1)

3a) a/k+b/(k+1)=[a(k+1)+bk]/k(k+1)=[(a+b)k+a]/k(k+1)
L'égalité doit être vrai ∀k donc on en déduit que a=1 et a+b=0
Donc a=1 et b=-1
On a donc 1/k(k+1)=1/k-1/(k+1)
1/k(k+1) est donc égale à la différence de 2 termes consécutifs
Un=∑(1/k-1/(k+1)) : les termes consécutifs s'annulent 2 à 2 sauf le premier et le dernier donc Un=1-1/(n+1)
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