Salut,
a ) Posons
P1(x) = ax² + bx + c
P2(x) = αx² + βx + ω
Deux trinômes du second degré
et P3(x) la somme des deux.
P3(x) = P1(x) + P2(x) = ax² + bx + c + αx² + βx + ω = (a+α)x² + (b+β)x + (c+ω)
Ainsi si on pose A = α+a, B = b+β et C = c+ω, on a :
P3(x) = Ax² + Bx + C qui est un polynôme du second degré.
b ) D'autre part, un polynôme de degré n (ici n = 2) pour s'écrire par la somme de deux polynôme de degré inférieur (de degré a et b tel que max(a,b) = n)
On peut donc toujours écrire un trinôme de second degré sous la forme de deux trinôme de second degré.
D'après a) la somme de deux trinôme de second degré donne un trinôme de second degré, d'après b) la somme de deux polynôme de degré a et b donne un polynôme de degré max(a,b). On en conclu donc qu'il est toujours possible d'écrire un polynôme de degré deux en sommant deux polynôme de degré deux.
Bonne soiré
