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Sagot :
Bonjour Scientifikk
[tex]f(x)=\dfrac{1}{10}x(20-x)=0,1x(20-x)[/tex]
1°) Étudier les variations de la fonction f sur [0;20]
[tex]f(x)=0,1x(20-x)\\\\f(x)=0,1x\times20-0,1x^2\\\\f(x)=2x-0,1x^2\\\\f'(x)=2-0,2x[/tex]
Racine de la dérivée : 2 - 0,2x = 0 ==> 0,2x = 2
==> x = 2 / 0,2
==> x = 10
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&10&&20\\f'(x)=2-0,2x&&+&0&-&\\f(x)&0&\nearrow&10&\searrow&0\\\end{array}[/tex]
Donc f est croissante sur [0 ; 10]
f est décroissante sur [10 ; 20]
2°) En déduire que, quel que soit x ∈ [0;10], f(x) ∈ [0;10].
0 ≤ x ≤ 10 ⇒ f(0) ≤ f(x) ≤ f(10) car f est croissante sur [0 ; 10]
Or f(0) = 0 et f(10) = 10
Donc 0 ≤ x ≤ 10 ⇒ 0 ≤ f(x) ≤ 10
soit quel que soit x ∈ [0;10], f(x) ∈ [0;10].
3°) Justifier que, quel que soit x ∈ [0;10], f(x)≥x
[tex]Si\ x\in\ ]0;10],\ alors\ \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{2x-0,1x^2}{x}=\dfrac{x(2-0,1x)}{x}=2-0,1x\\\\x\in\ ]0;10]\Longrightarrow0\ \textless \ x\le10\\\\\Longrightarrow-1\le-0,1x\ \textless \ 0\\\\\Longrightarrow-1+2\le2-0,1x\ \textless \ 0+2\\\\\Longrightarrow1\le2-0,1x\ \textless \ 2\\\\\Longrightarrow\boxed{2-0,1x\ge1}\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{f(x)}{x}\ge1}\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)\ge x}[/tex]
Nous venons de montrer que
[tex]Si\ x\in\ ]0;10],\ alors\ f(x)\ge x[/tex]
La relation f(x) ≥ x est également vraie pour x = 0 car f(0) = 0.
Par conséquent,
quel que soit x ∈ [0;10], f(x) ≥ x
[tex]f(x)=\dfrac{1}{10}x(20-x)=0,1x(20-x)[/tex]
1°) Étudier les variations de la fonction f sur [0;20]
[tex]f(x)=0,1x(20-x)\\\\f(x)=0,1x\times20-0,1x^2\\\\f(x)=2x-0,1x^2\\\\f'(x)=2-0,2x[/tex]
Racine de la dérivée : 2 - 0,2x = 0 ==> 0,2x = 2
==> x = 2 / 0,2
==> x = 10
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&10&&20\\f'(x)=2-0,2x&&+&0&-&\\f(x)&0&\nearrow&10&\searrow&0\\\end{array}[/tex]
Donc f est croissante sur [0 ; 10]
f est décroissante sur [10 ; 20]
2°) En déduire que, quel que soit x ∈ [0;10], f(x) ∈ [0;10].
0 ≤ x ≤ 10 ⇒ f(0) ≤ f(x) ≤ f(10) car f est croissante sur [0 ; 10]
Or f(0) = 0 et f(10) = 10
Donc 0 ≤ x ≤ 10 ⇒ 0 ≤ f(x) ≤ 10
soit quel que soit x ∈ [0;10], f(x) ∈ [0;10].
3°) Justifier que, quel que soit x ∈ [0;10], f(x)≥x
[tex]Si\ x\in\ ]0;10],\ alors\ \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{2x-0,1x^2}{x}=\dfrac{x(2-0,1x)}{x}=2-0,1x\\\\x\in\ ]0;10]\Longrightarrow0\ \textless \ x\le10\\\\\Longrightarrow-1\le-0,1x\ \textless \ 0\\\\\Longrightarrow-1+2\le2-0,1x\ \textless \ 0+2\\\\\Longrightarrow1\le2-0,1x\ \textless \ 2\\\\\Longrightarrow\boxed{2-0,1x\ge1}\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{f(x)}{x}\ge1}\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)\ge x}[/tex]
Nous venons de montrer que
[tex]Si\ x\in\ ]0;10],\ alors\ f(x)\ge x[/tex]
La relation f(x) ≥ x est également vraie pour x = 0 car f(0) = 0.
Par conséquent,
quel que soit x ∈ [0;10], f(x) ≥ x
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