Bonjour Melizoou
1) Tableau de variations de g :
[tex]g(x)=2x^3+4x^2-x-5\\\\g'(x)=6x^2+8x-1[/tex]
Signe de g'(x) et variations de g :
racine de g'(x) :
[tex]6x^2+8x-1=0\\\Delta=8^2-4\times6\times(-1)=64+24=88\\\\x_1=\dfrac{-8-\sqrt{88}}{12}=\dfrac{-8-\sqrt{4\times22}}{12}=\dfrac{-8-2\sqrt{22}}{12}=\dfrac{2(-4-\sqrt{22})}{12}\\\\=\dfrac{-4-\sqrt{22}}{6}\approx-1,45\\\\x_2=\dfrac{-8+\sqrt{88}}{12}=\dfrac{-8+\sqrt{4\times22}}{12}=\dfrac{-8+2\sqrt{22}}{12}=\dfrac{2(-4+\sqrt{22})}{12}\\\\=\dfrac{-4+\sqrt{22}}{6}\approx0,12[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&\approx-1,45&&\approx0,12&&+\infty \\g'(x)&&+&0&-&0&+&\\g(x)&&\nearrow&\approx-1,24&\searrow&\approx-5,06&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
b) Equation de la tangente.
Une équation de la tangente à la courbe représentant g en son point d’abscisse a est donnée par : [tex]\boxed{y=g'(a)(x-a)+g(a)}[/tex]
Dans notre cas
[tex]\boxed{a=-1}\\\\g(a)=g(-1)=2(-1)^3+4(-1)^2-(-1)-5\\=-2+4+1-5=-2\Longrightarrow \boxed{g(a)=-2}\\\\g'(a)=g'(-1)=6(-1)^2+8(-1)-1=8-8-1=-3\\\Longrightarrow \boxed{g'(a)=-3}[/tex]
D'où l'équation de la tangente à la courbe représentant g au point d'abscisse -1 est :
[tex]y=-3(x+1)-2\\\\y=-3x-3-2\\\\\boxed{y=-3x-5}[/tex]
c) Antécédents de -5 par la fonction g.
Il faut résoudre l'équation g(x) = -5
[tex]2x^3+4x^2-x-5=-5\\2x^3+4x^2-x=0\\x(2x^2+4x-1)=0\\\boxed{x=0}\ \ ou\ \ 2x^2+4x-1=0[/tex]
Résolvons l'équation 2x² + 4x - 1 = 0
[tex]\Delta=4^2-4\times2\times(-1)=16+8=24\\\\x_1=\dfrac{-4-\sqrt{24}}{4}=\dfrac{-4-2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{2(-2-\sqrt{6})}{4}=\boxed{\dfrac{-2-\sqrt{6}}{2}}\\\\x_2=\dfrac{-4+\sqrt{24}}{4}=\dfrac{-4+2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{2(-2+\sqrt{6})}{4}=\boxed{\dfrac{-2+\sqrt{6}}{2}}[/tex]
Par conséquent, les antécédents de -5 par la fonction g sont :
[tex]\boxed{0\ ;\ \dfrac{-2-\sqrt{6}}{2}\ ;\ \dfrac{-2+\sqrt{6}}{2}}[/tex]
