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Lola2910
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Bonjour voici mon exo, je voudrais avoir de l'aide pour le 3) et 4) seulement:
x^3 = px + q

x = u+v et uv = p/3

On sait que u^3 + v^3 = q
u^3*v^3 = p^3/27
et que u^3 et v^3 sont solutions de X^2 - qX + p^3/27 = 0

3) Résoudre cette dernière équation dans le cas où q^2 - 4p^3/27 est inférieur ou égal à 0

4) En déduire, toujours dans ce cas, une solution de l'équation x^3 = px + q. Cette formule est celle de Cardan.

Merci d'avance !!

Sagot :

Scoladan
Bonjour, 3) Delta étant négatif, l'équation admet 2 solutions imaginaires : X1 = 1/2(q - iV(q^2 - 4p^3/27)) (V racine carree) et X2 = 1/2(q + V(q^2 - 4p^3/27)). 4) On sait que u^3 et v^3 sont solutions donc on peut poser u^3=X1 et v^3=X2. De là on peut déduire u et v, racines cubiques de X1 et X2. Puis x = u+v. Dans la pratique il faut trouver les racines cubiques d'un complexe. Pas si évident...il y en a 3 pour u et 3 pour v. Ce qui donnerait 9 solutions pour x. Or il ne faudra en retenir que 3...
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