Sagot :
Bonjour Liloutermes
4) Intersection entre C et l'axe des ordonnées.
Les points de l'axe des ordonnées ont une abscisse nulle.
Dans l'expression de f(x), remplaçons x par 0, ce qui revient à calculer f(0).
[tex]f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-2}\\\\f(0)=\dfrac{0^2-0+1}{0-2}\\\\f(0)=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point d'intersection entre C et l'axe des ordonnées sont [tex]\boxed{(0;-\dfrac{1}{2})}[/tex]
Intersection entre C et l'axe des abscisses.
Les points de l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle.
Il faut donc déterminer les éventuelles valeurs de x telles que f(x) = 0, soit résoudre l'équation f(x) = 0
[tex]f(x)=0\\\\\dfrac{x^2-x+1}{x-2}=\\\\x^2-x+1=0\\\\\Delta=(-1)^2-4\times1\times1=1-4=-3\ \textless \ 0[/tex]
Puisque le discriminant est négatif, l'équation x²-x+1=0 n'admet pas de racine réelle.
Par conséquent, la courbe C ne coupe pas l'axe des abscisses.
5) a) La tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses si son coefficient directeur est nul, soit si f '(x) = 0
Les abscisses des points de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses se détermineront en résolvant l'équation f '(x) = 0.
[tex]f'(x)=0\\\\\dfrac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}=0\\\\x^2-4x+1=0\\\\\Delta=(-4)^2-4\times1\times1=16-4=12\\\\x_1=\dfrac{4-\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4-\sqrt{4\times3}}{2}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{2}=2-\sqrt{3}\\\\x_2=\dfrac{4+\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4+\sqrt{4\times3}}{2}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(2+\sqrt{3})}{2}=2+\sqrt{3}[/tex]
Par conséquent, les abscisses des points de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses sont [tex]\boxed{2-\sqrt{3}\ \ et\ \ 2+\sqrt{3}}[/tex]
b) Une équation de la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 0 est donnée par : y = f ’(0)(x - 0) + f(0)
4) Intersection entre C et l'axe des ordonnées.
Les points de l'axe des ordonnées ont une abscisse nulle.
Dans l'expression de f(x), remplaçons x par 0, ce qui revient à calculer f(0).
[tex]f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-2}\\\\f(0)=\dfrac{0^2-0+1}{0-2}\\\\f(0)=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point d'intersection entre C et l'axe des ordonnées sont [tex]\boxed{(0;-\dfrac{1}{2})}[/tex]
Intersection entre C et l'axe des abscisses.
Les points de l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle.
Il faut donc déterminer les éventuelles valeurs de x telles que f(x) = 0, soit résoudre l'équation f(x) = 0
[tex]f(x)=0\\\\\dfrac{x^2-x+1}{x-2}=\\\\x^2-x+1=0\\\\\Delta=(-1)^2-4\times1\times1=1-4=-3\ \textless \ 0[/tex]
Puisque le discriminant est négatif, l'équation x²-x+1=0 n'admet pas de racine réelle.
Par conséquent, la courbe C ne coupe pas l'axe des abscisses.
5) a) La tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses si son coefficient directeur est nul, soit si f '(x) = 0
Les abscisses des points de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses se détermineront en résolvant l'équation f '(x) = 0.
[tex]f'(x)=0\\\\\dfrac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}=0\\\\x^2-4x+1=0\\\\\Delta=(-4)^2-4\times1\times1=16-4=12\\\\x_1=\dfrac{4-\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4-\sqrt{4\times3}}{2}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{2}=2-\sqrt{3}\\\\x_2=\dfrac{4+\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4+\sqrt{4\times3}}{2}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(2+\sqrt{3})}{2}=2+\sqrt{3}[/tex]
Par conséquent, les abscisses des points de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses sont [tex]\boxed{2-\sqrt{3}\ \ et\ \ 2+\sqrt{3}}[/tex]
b) Une équation de la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 0 est donnée par : y = f ’(0)(x - 0) + f(0)
Or f(0) = -1/2 (voir précédemment)
[tex]f'(0)=\dfrac{0^2-4\times0+1}{(0-2)^2}=\dfrac{1}{(-2)^2}=\dfrac{1}{4}[/tex]
D'où, une équation de la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 0 est
[tex]y=\dfrac{1}{4}(x-0)-\dfrac{1}{2}\\\\\boxed{y=\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{2}}[/tex]
c) Le coefficient directeur de la droite d'équation y = -x est égal à -1.
La tangente à la courbe parallèle à cette droite possède le même coefficient directeur.
D'où la tangente à la courbe est parallèle à la droite d'équation y = -x si son coefficient directeur est égal à -1, soit si f '(x) = -1
[tex]f'(x)=-1\\\\\dfrac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}=-1\\\\x^2-4x+1=-(x-2)^2\\\\x^2-4x+1=-(x^2-4x+4)\\\\x^2-4x+1=-x^2+4x-4\\\\x^2-4x+1+x^2-4x+4=0\\\\2x^2-8x+5=0\\\\\Delta=(-8)^2-4\times2\times5=64-40=24[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{8-\sqrt{24}}{4}=\dfrac{8-\sqrt{4\times6}}{4}=\dfrac{8-2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{2(4-\sqrt{6})}{4}=\dfrac{4-\sqrt{6}}{2}\\\\x_2=\dfrac{8+\sqrt{24}}{4}=\dfrac{8+\sqrt{4\times6}}{4}=\dfrac{8+2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{2(4+\sqrt{6})}{4}=\dfrac{4+\sqrt{6}}{2}[/tex]
Par conséquent, les abscisses des points de la courbe où la tangente est parallèle à la droite d'équation y = -x sont [tex]\boxed{\dfrac{4-\sqrt{6}}{2}\ \ et\ \ \dfrac{4+\sqrt{6}}{2}}[/tex]
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