Bonsoir LynaLiliLola26032202
[tex]\sum\limits_{k=1}^n(-1)^k\times k^2=(-1)^n\times\sum\limits_{k=1}^nk[/tex]
Cette relation est évidemment vraie si n = 1.
Démontrons cette égalité par récurrence.
Initialisation :
Montrons que cette égalité est vraie pour la plus petite somme, soit pour n = 2.
[tex]\sum\limits_{k=1}^2(-1)^k\times k^2=(-1)^1\times1^2+(-1)^2\times2^2=-1+4=\boxed{3}\\\\(-1)^n\times\sum\limits_{k=1}^nk=(-1)^2\times(1+2)=1\times3=\boxed{3}[/tex]
Puisque les membres de droite sont égaux à 3, les membres de gauche sont égaux.
D'où [tex]\sum\limits_{k=1}^2(-1)^k\times k^2=(-1)^2\times\sum\limits_{k=1}^2k[/tex]
L'initialisation est donc vraie.
Hérédité :
pour une valeur de n ≥ 2, si nous avons
[tex]\sum\limits_{k=1}^n(-1)^k\times k^2=(-1)^n\times\sum\limits_{k=1}^nk[/tex],
alors montrons que nous avons également : [tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^{n+1}\times\sum\limits_{k=1}^{n+1}k[/tex]
En effet,
[tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^k\times k^2+(-1)^{n+1}\times(n+1)^2[/tex]
Utilisons l'hypothèse de récurrence.
D'où
[tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^n\times \sum\limits_{k=1}^{n}k+(-1)^{n+1}\times(n+1)^2[/tex]
Or [tex]\sum\limits_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex]
Donc
[tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^n\times \dfrac{n(n+1)}{2}+(-1)^{n+1}\times(n+1)^2\\\\\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^n\times \dfrac{n(n+1)}{2}+(-1)^{n}\times(-1)\times(n+1)^2\\\\\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^n\times(n+1)\times \dfrac{n}{2}+(-1)^{n}\times(-1)\times(n+1)^2\\\\\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^n\times(n+1)\times [\dfrac{n}{2}+(-1)\times(n+1)]\\\\\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^n\times(n+1)\times [\dfrac{n}{2}-n-1][/tex]
[tex]\\\\\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^n\times(n+1)\times [-\dfrac{n}{2}-1]\\\\\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\timesk^2=(-1)^n\times(n+1)\times(-1)\times(\dfrac{n}{2}+1)\\\\\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^{n+1}\times(n+1)\times (\dfrac{n}{2}+1)\\\\\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^{n+1}\times(n+1)\times (\dfrac{n}{2}+\dfrac{2}{2})\\\\\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^{n+1}\times(n+1)\times (\dfrac{n+2}{2})[/tex]
[tex]\\\\\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^{n+1}\times\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}[/tex]
Mais nous savons que [tex]\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k[/tex]
On en déduit donc que :
[tex]\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^k\times k^2=(-1)^{n+1}\times\sum\limits_{k=1}^{n+1}k[/tex]
L'hérédité est ainsi démontrée.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons ainsi démontré que
[tex]\sum\limits_{k=1}^n(-1)^k\times k^2=(-1)^n\times\sum\limits_{k=1}^nk[/tex]
