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Ikramtout
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Bonjour, j'aurais besoin d'aide s'il vous plait
Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n, par Un= 2^(3n) -1
1) On considère l'algorithme suivant:
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul n
Traitement
Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 1 à n:
Affecter à U la valeur 8*U+7
Fin pour
Sortie
Afficher U

a) Vérifier pour les deux premières valeurs de n que la sortie de l'algorithme est égale au terme Un.
b) Démontrer que pour tout entier naturel n, Un+1 = 8Un +7
c) En déduire que la sortie de l'algorithme est toujours égale au terme Un.
2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un est divisible par 7.

Merci d'avance !

Sagot :



Bonsoir,

J'appelle  v la suite u calculée par l'algorithme.


a)
[tex]u_{1} =2^{3*1} -1=2^3-1=8-1=7\\ v_{1}=8*0+7=7\\ u_{1}=v_{1}\\ u_{2} =2^{3*2} -1=2^6-1=64-1=63\\ v_{2}=8*v_{1}+7=8*7+7=56+7=63\\ u_{2}=v_{2}\\ [/tex]
b)

[tex]u_{n} =2^{3n}-1 ==\ \textgreater \ 2^{3n}=u_{n}+1\\ u_{n+1} \\ =2^{3(n+1)}-1\\ =2^{3n+3}-1 \\ =2^{3n}*2^3-1 \\ =8*2^n-1\\ =8*(u_{n}+1) -1\\ =8*u_{n}+8-1\\ =8*u_{n}+7\\ [/tex]

c)
 évident à cause du b.

d)

[tex]u_{1}=7\ est \ divisible\ par\ 7.\\ On \ suppose\ la\ propri\'et\'e\ vraie \ pour \ n \\ u_{n}\ est\ divisible\ par\ 7,\\ u_{n+1}=8*u{n}+7=7*(u_{n}+1) + u_{n}\\
7*(u_{n}+1) \ est\ divisible\ par\ 7\\
u_{n}\ est\ divisible\ par\ 7\\
leur\ somme \ u_{n+1}\ est\ donc\ divisible\ par\ 7\\[/tex]


Mais on peut le démontrer directement:

[tex]a^n -1= (a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+a^{n-3}+...+a^{1}+1)\\ u_{n}= 2^{3n}-1\\ =8^n-1\\ =(8-1)(8^{n-1}+8^{n-2}+8^{n-3}+...+8^{1}+1)\\ =7*(8^{n-1}+8^{n-2}+8^{n-3}+...+8^{1}+1)\\ \ est\ divisible\ par\ 7. [/tex]











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