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RamziGazale1
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1_ Montre que:

1/n(n+1) = 1/n - 1/n+1

2_Calcule:

M=1/1×2+1/2×3+1/3×4+......+1/99×100

Sagot :

Kaser30
1)
1/n - 1/(n+1) = (n+1)/(n(n+1)) - n/(n(n+1)) = (n+1-n)/n(n+1) = 1/n(n+1)
On a bien 1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)

2)
1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1) donc Somme pour n allant de 1 à 99 de 1/n(n+1) = Somme pour n allant de 1 à 99 de 1/n - 1/(n+1)

On peut donc ecrire M de cette façon :
M = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ..... + 1/98 - 1/99 + 1/99 - 1/100
Par effet téléscopique, on remarque que tous les termes intermédiaires s'annulent et qu'il ne reste que les termes limites :
M = 1/1 - 1/100 = 99/100

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